[卡特兰数]
Catalan数
还记2016年的那道选择题被安排到了55级的数学学案上的01规范数列：
定义“规范\(01\)数列”\({a_n}\)如下：\({a_n}\)共有\(2m\)项，其中\(m\)项为\(0\)，\(m\)项为\(1\)，且对任意\(k≤2m\)，\(a_1\)，\(a_2\)，…，\(a_k\)中0的个数不少于1的个数，若\(m=4\)，则不同的“规范\(01\)数列”共有多少个（）
\(A、18\) \(B、16\) \(C、14\) \(D、12\)
又记清华测试2021年一月的填空
现将大小形状相同的4个黑色球和4个红色球排成一排，从左边第一个球开始数，不管数几个球，黑球数不少于红球数的排法有___种
作为做过这题三次起步的小F，当然直接秒了这个题。(当然事后被小x谴责了...）
但当时只知道它是卡特兰数并知道它的公式是\(C^n_{2n}-C^{n+1}_{2n}\),但并不知道是怎么证明的，但现在小F知道了！2021.1.29
Catalan数
1 定义：由\(n\)个\(1\)和\(n\)个\(0\)组成的有\(2n\)个数的数，且从左到右\(0\)的累计数不小于\(1\)的累计数的方案种数
2 分析一下该问题可等价于求从\(A\)点到\(B\)点不超过红线（可接触）的最短路径数量，把向右走看成\(0\)，把向上走看成\(1\)，超过红线说明1向上走的多了，即为\(1\)的个数多于\(0\)的个数了。
3 题目相当于求从\((0,0)\)走到\((n,n)\)且不跨越直线\(y=x\)的方案数。首先，如果不考虑不能跨越直线\(y=x\)的要求，相当于从\(2n\)步中选\(n\)步向右走，选\(n\)步向上走，则方案数为\(C^n_{2n}\)。然后，考虑对于一种不合法的方案，一定在若干步后有一步越过了\(y=x\)到了\(y=x+1\)，这个点在直线\(y=x+1\) (即下图中红色的线) 上。那么把第一次碰到该直线以后的部分关于该直线对称，则最终到达的点是\((n−1,n+1)\) (如下图) 。
