【题解】洛谷 P2052 [NOI2011] 道路修建

链接：洛谷

观察到该图有 \(n\) 个节点， \(n - 1\) 条边，可以发现它是一棵树。

考虑对它进行 dfs，求出对于每一个节点 \(u\)，它的子树的节点数量，记为 \(cnt_u\)。由题意，边 \((u, v)\) （\(u\) 在树上的深度小于 \(v\)）的费用应该是根节点到 \(u\) 的这条链上的节点个数，与以 \(v\) 为根的子树的节点数的差的绝对值。不难得出，根节点到 \(u\) 的链上的节点个数为: \(cnt_1 - cnt_v\)，以 \(v\) 为根的子树的节点数为 \(cnt_v\)，所以边 \((u, v)\) 的费用的表达式：

\[\begin{aligned}cost_{(u, v)} = & \;\operatorname{abs}(cnt_1 - cnt_v - cnt_v) \times w_{(u, v)} \\ = & \; \operatorname{abs}(n - cnt_v - cnt_v) \times w_{(u, v)} \\ = & \; \operatorname{abs}(n - 2\times cnt_v) \times w_{(u, v)}\end{aligned}\]

在 dfs 的过程中计算即可。

注意：无向图，开 long long，取绝对值用 llabs。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Prulystic { void Main(); }
int main(){
    Prulystic::Main();
    return 0;
}
namespace Prulystic{
    using ll = long long;
    using pll = pair<ll, ll>;
    const int N = 2e6 + 5;
    ll n, ans, son[N];
    vector<pll> g[N];
    inline void read(ll& x){
        ll s = 0, w = 1; char ch = getchar();
        while(ch < '0' || ch > '9') { w = (ch == '-' ? -1 : w); ch = getchar(); }
        while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
        x = s * w;
        return;
    }
    inline void write(ll x){
        if(x < 0) { x = -x; putchar('-'); }
        if(x > 9) write(x / 10);
        putchar(x % 10 + '0');
       return;
    }
    inline void write(ll x, char ch) { write(x); putchar(ch); }
    inline void add(ll a, ll b, ll c){
        g[a].push_back({b, c}), g[b].push_back({a, c});
        return;
    }
    void dfs(int u, int f){
        son[u] = 1;
        for(pll e : g[u]){
            ll v = e.first, w = e.second;
            if(v == f)
                continue;
            dfs(v, u);
            son[u] += son[v];
            ans += llabs(n - 2 * son[v]) * w;
        }
        return;
    }
    void Main(){
        read(n);
        for(int i = 1; i <= n - 1; i++){
            ll a, b, c; read(a), read(b), read(c);
            add(a, b, c);
        }
        dfs(1, 0);
        write(ans, '\n');
        return;
    }
}