【数论】同余、费马小定理、乘法逆元

同余

\(a = pm + r, b = pn + r(p, m, r, n \in \mathbb{N})\)，则 \(a\) 与 \(b\) 在模 \(p\) 情况下同余，记作 \(a \equiv b \pmod{p}\)。

同余具有传递性、结合律等性质。若 \(a \equiv b \pmod{p}, c \equiv d \pmod{p}\)，则有：

• \(a \pm c \equiv b \pm d \pmod{p}\)
• \(a \times c \equiv b \times d \pmod{p}\)
• \(a^n \equiv b^n \pmod{p}\)

证明的话，可以运用同余的定义，表示 \(a, b, c, d\):
\(a = np + r_1, b = mp + r_1, c = xp + r_2, d = yp + r_2\).
那么：
\(a \pm c = (n \pm x)p + (r_1 \pm r_2), b \pm d = (m \pm y)p + (r_1 \pm r_2)\).
观察到，他们的余数部分是一样的，所以就有 \(a \pm c \equiv b \pm d \pmod{p}\).
对于其他的性质，也可以仿照上述方法证明。此处不展开说明。

但有一点是需要格外注意的：同余式中如果想除去一个数不能直接操作，如果直接除去某个数不一定能保证整除。在同余方程中，除去一个数等价于乘上这个数的逆元。很好理解：\(ab\equiv c \pmod p\)，根据同余方程的性质，\(ab\times b^{-1} \equiv c \times b^{-1} \pmod p\)。又有 \(b \times b^{-1} \equiv 1 \pmod p\)，所以原式变形为：\(a\equiv c \times b^{-1} \pmod p\)，也就相当于除去了 \(b\)。

费马小定理

若 \(p\) 为一个质数，则有 \(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\).

证明：待补充。

乘法逆元

定义和前提

若 \(\gcd(a, b) = 1, ax \equiv 1 \pmod{b}\), 则称 \(x\) 是 \(a\) 模 \(b\) 意义下的 乘法逆元，记作 \(a^{-1}\)。

为什么一定要满足 \(\gcd(a, b) = 1\) 呢？

考虑，\(\gcd(a, b) \neq 1\) 时，同余方程是否可能成立。
首先，先了解一个性质：若 \(d\) 是 \(a\) 的因子，那么 \(d\) 的倍数模以 \(a\) 的余数，一定能被 \(d\) 整除。
由题，可表示 \(a = pd\)，\(d\) 的倍数为 \(b = qd\)。
只要把 \(a\) 表示成 \(a = kb + r\)，并且证明 \(d \mid r\) 即可。
带入：\(pd = k(qd) + r\\\)；
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;r = pd - kqd\\\);
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;r = (p - kq)d\).
因为 \(k, q, p\) 都是整数，所以 \(p - kq\) 一定也是整数。所以必有 \(d\mid r\)，上述性质即得证。

所以如果 \(\gcd(a, b) = d > 1\)，那么 \(a\) 除以 \(b\) 的余数一定是 \(d\) 的倍数，而 \(d > 1\)，所以 \(ax\equiv 1\pmod{b}\) 一定不会成立。也就是说，\(\gcd(a, b) = 1\) 是乘法逆元存在的前提。

费马小定理求乘法逆元

由于有前提 \(\gcd(a, b) = 1\) 的前提，可以构造：\(a\times a^{p - 2} \equiv 1 \pmod{p}\)。由乘法逆元的定义，\(a^{p - 2}\) 即为 \(a\) 在模 \(p\) 意义上的一个乘法逆元，但不一定是最小的那个。

\(a \times a^{p - 2} \equiv 1 \pmod{p}\)，若 \(c \equiv a^{p - 2} \pmod{p}\)，则 \(a \times c \equiv 1\pmod{p}\)，\(c\) 也就是 \(a\) 的一个乘法逆元。不难得出，\(c = a^{p - 2} \mod p\) 即为最小的那个，它满足上述需要的全部性质。

例：求 \(3\) 在模 \(7\) 意义上的最小乘法逆元。

由题，\(3 \times 3^5 \equiv 1 \pmod{7}\)

\(3^1 \equiv 3 \pmod{7}, 3^2 \equiv 2 \pmod{2}, 3^4 \equiv 3^2 \times 3^2 \equiv 4\pmod{7}, 3^5 \equiv 3^4 \times 3 \equiv 5 \pmod{7}\)。

用 \(5\) 代替 \(3^5\)，有 \(3 \times 5 \equiv 1 \pmod{7}\)，即 \(5\) 为 \(3\) 在模 \(7\) 意义下的最小乘法逆元。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll a, p;
inline ll qkpow(ll a, ll b){
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b & 1)
            res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res % p;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld", &a, &p);
    printf("%lld\n", qkpow(a, p - 2)); // 不用模以 p 是因为快速幂内部已经实现了这一功能
    return 0;
}

扩展欧几里德法求逆元

考虑将 \(ax\equiv 1 \pmod p\) 化为不定方程 \(ax - pk = 1\)，然后用 exgcd 求解即可。 \(k\) 无意义，保留 \((x \operatorname{mod} p + p) \operatorname{mod} p\) 作为最小逆元。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll a, x, y, p;
void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    ll t = x;
    x = y, y = t - a/ b * y;
    return;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld", &a, &p);
    exgcd(a, -p, x, y);
    printf("%lld\n", (x % p + p) % p);
    return 0;
}

欧拉定理求逆元

由欧拉定理 \(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\)，可以构造出 \(a \times a^{\varphi(n) - 1} \equiv 1 \pmod p\)，求值即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll a, p;
ll phi(ll x){
    ll res = x;
    for(ll i = 2; i * i <= x; i++){
        if(x % i == 0){
            res = res * (i - 1) / i;
            while(x % i == 0)
                x /= i;
        }
    }
    if(x > 1)
        res = res * (x - 1) / x;
    return res;
}
ll qkpow(ll a, ll b, ll p){
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b & 1)
            res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res % p;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld", &a, &p);
    printf("%lld", qkpow(a, phi(p) - 1, p));
    return 0;
}