群论，Burnside 引理，Pólya 定理

群的定义

非空集合 \(G\) 上定义一种二元运算 \(\times\)，记为 \((G,\times)\)。

若满足如下性质，则称 \((G,\times)\) 为一个群。

• 封闭性：\(\forall a,b\in G\)，有 \(a\times b\in G\)。

• 结合律：\(\forall a,b,c\in G\)，有 \((a\times b)\times c=a\times (b\times c)\)。

• 存在单位元：即存在 \(e\in G\)，使得对于 \(\forall a\in G\)，有 \(a\times e=e\times a=a\)。则称 \(e\) 为 \(G\) 的单位元。

• 存在逆元：对于 \(\forall a\in G\)，存在 \(b\) 使得 \(a\times b=b\times a=e\)。则称 \(b=a^{-1}\)。

可以反证法证明 \(e\) 以及任意元素的逆元唯一。

如果 \(\forall a,b\in G\)，有 \(a\times b=b\times a\)，则此为交换群。例如矩阵乘法不是交换群。

群还满足左消去律和右消去律，对于 \(a,b,c\in G\)：

• 如果 \(ab=ac\)，那么 \(b=c\)。

• 如果 \(ba=ca\)，那么 \(b=c\)。

证明：如果 \(ab=ac\)，因为 \(a\in G\)，所以 \(a^{-1}\in G\)，那么 \(a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)\)，即 \(eb=ec\implies b=c\)。

子群

如果 \(H\subseteq G\)，并且 \((H,\times)\) 也是一个群，那么 \((H,\times)\) 是 \((G,\times G)\) 的子群。

子群 \((H,\times)\) 的单位元和 \((G,\times)\) 的单位元相同。

阶

如果 \(G\) 是一个有限集，则这个群是有限群，那么他的阶就是他的元素个数，记作 \(|G|\)。

对于群 \(G\) 中的元素 \(a\)，它的阶是最小的正整数 \(n\) 使得 \(x^n=e\) 成立，记作 \(|x|\)。

如果是有限群，那么 \(n\) 一定存在：考虑 \(x^0,x^1,x^2,\cdots ,x^{|G|}\)，这些均为 \(G\) 中元素，有 \(|G|+1\) 个，因此根据抽屉原理，一定存在 \(n,m\) 使得 \(x^n=x^m\)，那么 \(x^{n-m}=e\)。

陪集

设 \(G\) 是群，\(H\subseteq G\) 是他的子群，\(g\in G\)，则定义子群 \(H\) 包含 \(g\) 的左陪集和右陪集为：

• \(gH=\{g\times h\mid h\in H\}\)（左）。

• \(Hg=\{h\times g\mid h\in H\}\)（右）。

在 \(G\) 上定义一个二元关系 \(\sim\)：\(a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\)。（这里采用左陪集定义）

这个二元关系 \(\sim\) 是 \(G\) 上的一个等价关系，满足：

• 自反性：\(a\sim a\)，因为 \(a^{-1}a=e\in H\)。

• 对称性：如果 \(a\sim b\)，那么 \(b\sim a\)。因为若 \(a^{-1}b\in H\)，那么 \(b^{-1}a=(a^{-1}b)^{-1}\in H\)。

• 传递性：如果 \(a\sim b\) 且 \(b\sim c\)，那么 \(a\sim c\)。因为若 \(a^{-1}b\in H\)，\(b^{-1}c\in H\)，则 \(a^{-1}c=(a^{-1}b)(b^{-1}c)\in H\)。

陪集性质：

• 如果 \(|H|\) 是有限群，那么 \(|gH|=|H|\)。（1）

• \(g\in gH\)。（2）

• \(gH=H\iff g\in H\)。（3）

• \(g_1H=g_2H\iff g_1^{-1}g_2\in H\)。即 \(a\sim b\)。（4）

• 同理有 \(Hg_1=Hg_2\iff g_1g_2^{-1}\in H\)。

• \(g_1H\cap g_2H\neq \varnothing\iff g_1H=g_2H\)。（5）

• \(\bigcup_{g\in G}gH=G\)。（6）

性质的证明：

1. 对于 \(a,b\in H,a\neq b\)，有 \(ga\neq gb\)，否则必须有 \(a=b\)，矛盾。

2. 因为 \(H\) 是一个群，所以一定有单位元 \(e\)，并且和 \(G\) 中单位元相同。

3. 必要性：即 \(gH=H\implies g\in H\)。因为 \(gH=H\)，所以 \(e\in gH\)。那么一定存在 \(h\in H\)，使得 \(gh=e\)。同时右乘 \(h^{-1}\)，得到 \(g=h^{-1}\in H\)。

   充分性：即 \(g\in H\implies gH=H\)。先证明 \(gH\subseteq H\)：取任意元素 \(gh\in gH\)，其中 \(h\in H\)，因为 \(g\in H\) 且 \(h\in H\)，所以 \(gh\in H\)。因此，\(gH\) 的所有元素都在 \(H\) 里，即 \(gH\subseteq H\)。再证明 \(H\subseteq gH\)：取任意元素 \(x\in H\)。因为 \(g\in H\)，所以 \(g^{-1}\in H\)，那么 \(h=g^{-1}x\in H\)，于是 \(x=gh\)，则 \(x\in gH\)，所以 \(H\subseteq gH\)。所以综上 \(gH=H\)。

4. 必要性：已有 \(g_1H=g_2H\)，同时左乘 \(g_1^{-1}\)，那么 \(g_1^{-1}(g_1H)=g_1^{-1}(g_2H)\)。左边可以变为 \(H\)，所以就是 \(H=(g_1^{-1}g_2)H\)。因为有 \(gH=H\iff g\in H\)，所以 \(g_1^{-1}g_2\in H\)。

   充分性：已有 \(g_1^{-1}g_2\in H\)。同样根据结论 \(gH=H\iff g\in H\)，有 \((g_1^{-1}g_2)H=H\)。两边同时左乘 \(g_1\)，那么 \(g_1((g_1^{-1}g_2)H)=g_1H\)，即 \(g_2H=g_1H\)。

   这个也可以推出 \(aH=bH\iff Ha^{-1}=Hb^{-1}\)。

5. 存在 \(x\) 使得 \(x\in g_1H,x\in g_2H\)，所以存在 \(h_1,h_2\in H\)，使得 \(x=g_1h_1=g_2h_2\)。两边同时右乘 \(h_1^{-1}\)，得到 \(g_1=g_2h_2h_1^{-1}\)。两边同时左乘 \(g_1^{-1}\)，得到 \(e=g_1^{-1}g_2h_2h_1^{-1}\)。所以得到 \(g_1^{-1}g_2=h_1h_2^{-1}\)。因为 \(h_1h_2^{-1}\in H\)，所以 \(g_1^{-1}g_2\in H\)，又上一条性质得到 \(g_1H=g_2H\)。

6. 证明 \(\bigcup_{g\in G} gH\subseteq G\)。取 \(x\in \bigcup_{g\in G} gH\subseteq G\)，根据并集的定义，存在 \(g\in G\)，使得 \(x\in gH\)。因为 \(gH=\{gh\mid h\in H\}\)，所以 \(x=gh\)，\(h\in H\)，所以 \(h\in G\)，所以 \(x\in G\)。因为 \(x\) 是任取的，所以 \(\bigcup_{g\in G}gH\subseteq G\)。

   证明 \(G\subseteq \bigcup_{g\in G}gH\)。取 \(x\in G\)。因为 \(x\in xH\)，所以 \(x\in \bigcup_{g\in G}gH\)。

拉格朗日定理

设 \(G\) 是一个有限群，如果 \(H\subseteq G\)，定义 \(G/H=\{gH\mid g\in G\}\)。定义 \(|G:H|=|G/H|\)，即 \(H\) 在 \(G\) 中不同左陪集的个数。

那么有 \(|H|\cdot |G:H|=|G|\)。

证明：

由（1）知每一个左陪集的大小都为 \(|H|\)，由（5）知不同陪集不相交，由（6）知所有陪集覆盖 \(G\)。

因此，取所有不同左陪集的一个代表元集合 \(\{g_1, g_2, \dots, g_k\}\)，则

\[G = g_1H \sqcup g_2H \sqcup \cdots \sqcup g_kH \quad \]

所以 \(|G|=\sum_{i=1}^k |g_iH|=k|H|\)

令 \(k=[G:H]\)，即得 \(|H|\cdot |G:H|=|G|\)。

群作用

考虑定义群 \(G\) 对另一个集合 \(X\) 带来的运算 \(G\times X\rightarrow X\)。

被称为群作用当且仅当：

• \(ex=x\)，对于 \(\forall x\in X\)。

• \((g_1g_2)(x)=g_1(g_2(x))\)，对于 \(\forall g_1,g_2\in G,x\in X\)。

给定群 \(G\) 有对集合 \(X\) 的群作用，对每个 \(g\in G\)，记 \(\text{Fix}(g)=\{x\mid gx=x\}\subseteq X\)。为群元素 \(g\) 作用下 \(X\) 内不动点的集合。

对于每个元素 \(x\in X\)，记 \(\text{Stab}(x)=\{g\mid gx=x\}\subseteq G\)。即为让 \(x\) 不动的那些元素构成的集合。

\(\text{Stab}(x)\) 是封闭的，所以是 \(G\) 的子群，被称为元素 \(x\) 的稳定子群。

记元素 \(x\) 的轨道为 \(\text{Orb}(x)=\{gx\mid g\in G\}\subseteq X\)，即在群里每个元素的作用下 \(x\) 所能变为的所有可能元素。

轨道-稳定子定理

任取 \(x_0\in X\)，都有 \(|G|=|\text{Stab}(x_0)|\cdot |\text{Orb}(x_0)|\)。

证明：

对轨道内每一个元素 \(y\in \text{Orb}(x)\)，定义 \(S_y=\{g\in G\mid g\times x=y\}\)。对于每一个 \(g\in G\)，都有 \(x\rightarrow g\times x\)，所以 \(S_y\) 构成了 \(G\) 的一个划分，不同 \(y\) 的个数就是 \(|\text{Orb}(x)|\)。

现在证明每组大小都等于 \(|\text{Stab}(x)|\)。固定一个 \(y\in \text{Orb}(x)\)，至少存在一个 \(g_0\in G\) 使得 \(g_0\times x=y\)。那么 \(g_0\in S_y\)。

对于任意 \(g\in G\)，\(g\in S_y\iff g\times x=y\iff g\times x=g_0\times x\iff g_0^{-1}g\times x=x\iff g_0^{-1}g\in \text{Stab}(x)\iff g\in g_0\text{Stab}(x)\)。

所以 \(S_y=g_0\text{Stab}(x)\)。即 \(S_y\) 恰好是 \(\text{Stab}(x)\) 的一个左陪集。所以 \(|S_y|=|\text{Stab}(x)|\)，对于每一个 \(y\) 成立。

所以

\[|G|=\sum_{y\in \text{Orb}(x)} |S_y|=|\text{Stab}(x)|\cdot |\text{Orb}(x)| \]

即证。

Burnside 引理

给定群 \(G\) 和集合 \(X\)，

\[|\{\text{Orb}(x)\mid x\in X\}|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)| \]

证明：

由轨道-稳定子定理算两次得到：

考虑对满足 \(gx=x\) 的二元组 \((g,x)\) 进行计数，有两种计数方法：一种是枚举 \(g\)：

\[\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)| \]

另一种是枚举 \(x\)：

\[\sum_{x\in X}|\text{Stab}(x)|=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|\text{Orb}(x)|}=|G|\sum_{x\in X}\frac{1}{|\text{Orb}(x)|} \]

由于所有的轨道 \(\text{Orb}(x)\) 是对 \(X\) 的一个划分，因此每个轨道内的元素恰好贡献了 \(|\text{Orb}(x)|\) 份 \(\displaystyle \frac{1}{|\text{Orb}(x)|}\)。

所以等于 \(|G|\cdot |\{\text{Orb}(x)\mid x\in X\}|\)，也就是不同的 \(\text{Orb}(x)\) 个数。

因此即可得证。

Pólya 定理

群 \(G\) 作用在 \(n\) 个对象上，有 \(m\) 种颜色。\(X\) 是所有 \(m^n\) 种不考虑对称的染色方案。

\[|\{\text{Orb}(x)\mid x\in X\}|=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} m^{c(g)} \]

其中 \(c(g)\) 是 \(g\) 的置换环的总个数。

证明：

由 Burnside 引理有：

\[|\{\text{Orb}(x)\mid x\in X\}|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)| \]

注意到 \(|\text{Fix}(g)|\)，也就是在 \(g\) 作用下保持不变的染色方案，在 \(g\) 的同一个置换环里的所有对象，必须染相同的颜色。

因为 \(c(g)\) 个环互相独立，所以可以得到 \(|\text{Fix}(g)|=m^{c(g)}\)。

直接带入即可证明。

如果要统计每一个颜色的次数可以使用生成函数形式，把不用的长度的环用一个形式变量表示。