三角函数-1

烹饪方法

• 诱导公式。

• \(\sin^2a+\cos^2a=1\)，\(1+\tan^2a=\sec^2a\)，\(1+\cot^2a=\csc^2a\)。第一个经常有 \((\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x\)。

如图所示，对角线相乘为 \(1\)，灰色三角形上面两个平方和等于下面，顶点值为相邻两个乘积。

• 有界性，单调性，奇偶性，周期性。

如果遇到了 \(\sin x+\sin y=2\) 立知 \(\sin x=\sin y=1\)。

• 三角恒等式：

1. \(\sin 3a=3\sin a-4\sin ^3a=4\sin a\sin(60°-a)\sin(60°+a)\)。

2. \(\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a=4\cos a\cos(60°-a)\cos (60°+a)\)。

3. \(\tan 3a=\tan a\tan (60°-a)\tan (60°+a)\)。

4. \(\tan(a+b+c)=\frac{\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c}{1-\tan a\tan b-\tan b\tan c-\tan c\tan a}\)。

5. \(\sin a+\sin (a+2d)+\cdots +\sin (a+2nd)=\frac{\sin((n+1)d)\cdot \sin(a+nd)}{\sin d}\)。

6. \(\cos a+\cos (a+2d)+\cdots +\cos (a+2nd)=\frac{\sin((n+1)d)\cdot \cos(a+nd)}{\sin d}\)。

7. \(\sin^2 a-\sin^2 b=\sin(a+b)\sin(a-b)\)。

8. \(\cos^2 a-\cos ^2b=-\sin(a+b)\sin(a-b)\)。

9. \(\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a\)。

对于 5. 的证明：令和式为 \(S\)。则 \(2S\sin d=2\sin a\sin d+2\sin (a+2d)\sin d+\cdots +2\sin (a+2nd)\sin d\)。

由和差化积，\(2\sin a\sin d=\cos(a-d)-\cos (a+d)\)，\(2\sin (a+2d)\sin d=\cos(a+d)-\cos (a+3d)\)，\(\cdots\)。所以 \(2S\sin d=\cos(a-d)-\cos (a+(2n+1)d)=-2\sin (a+nd)\sin (-(n+1)d)\)。即证。

对于 6. 的证明同理。

• 在 \(\triangle ABC\) 中：

1. \(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\)。

2. \(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1\)。

3. \(\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2(1+\cos A\cos B\cos C)\)。

4. \(\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=1-2\cos A\cos B\cos C\)。

5. \(\frac{\cot A+\cot B}{\tan A+\tan B}+\frac{\cot B+\cot C}{\tan B+\tan C}+\frac{\cot C+\cot A}{\tan C+\tan A}=1\)。

对于 1. 的证明：\(\tan C=-\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1}\)，所以 \(\tan C(\tan A\tan B-1)=\tan A+\tan B\)，移项即可。

对于 3./4. 的证明：\(\cos C=-\cos (A+B)\)，所以 \(\cos A\cos B+\cos C=\sin A\sin B\)。

两边平方，\((\cos A\cos B+\cos C)^2=\cos^2 A\cos ^2B+2\cos A\cos B\cos C+\cos^2 C=(1-cos^2 A)(1-\cos ^2B)\)。展开消去，得到 \(2\cos A\cos B\cos C+\cos^2 C=1-\cos^2A-cos^2B\)，移项就证明了 4.。

由 \(\sin^2A=1-\cos^2 A\)，带入得到 3.。

也有，\(a+b+c=\frac{\pi}{2}\) 时，\(\tan a\tan b+\tan b\tan c+\tan c\tan a=1\)。

• 反三角函数。

栗子蛋糕

[没来得及做]