复数-1

烹饪方法

• \(z=re^{i\theta}\)。

• \(z\cdot \bar{z}=|z|^2\)。（**）

• \(||z_1|-|z_2||\le |z_1\pm z_2|\le |z_1|+|z_2|\)。

• \(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2\)。

• 如果 \(|z|=1\)，则 \(\bar{z}=\frac{1}{z}\)。（也有，\(\frac{\bar{z}}{r^2}=\frac{1}{z}\)）

• 实系数方程虚根成对。

• 如果 \(z\in \mathbb{R}\)，则 \(z=\bar{z}\)。（*）

栗子蛋糕

1. 已知虚数 \(z\)，使得 \(z_1=\frac{z}{1+z^2}\)，\(z_2=\frac{z^2}{1+z}\) 都是实数，求 \(z\)。

\(z=a+bi\) 或者用（*），因式分解。

2. 设复数 \(z\) 满足 \(|\arg(\frac{z+1}{z+2})|=\frac{\pi}{6}\)，求 \(\arg z\) 的取值范围。

令 \(\arg(\frac{z+1}{z+2})=\theta\)，则 \(z+1=(z+2)\cdot r(\cos\theta +i\sin \theta)\)。

由此带入坐标 \(A(-2,0)\)，\(B(-1,0)\)，得到 \(\angle AZB=\frac{\pi}{6}\)，因此 \(Z\) 在上下对称两个圆上。

3. 已知 \(z\) 是复数，且满足 \(|z|=1\)，求 \(f(z)=|z^3-z+2|\) 的最大值。

[思] 这个 \(z^3\) 次数比较大，尝试降次。那么 \(2\) 要变成含有 \(z\) 的式子。

由（**）\(|z|^2=z\bar{z}\)，则 \(f(z)=|z|\cdot |z^2+2\bar{z}-1|=|z^2+2\bar{z}-1|\)。然后用三角形式，求导得到最值。

4. 已知复数 \(z\) 满足 \(\arg(z+3)=\frac{3\pi}{4}\)，问 \(u=\frac{1}{|z+6|+|z-3i|}\) 取到最大值 \(z\) 和 \(u\) 是多少？

通：已知复数 \(z_0=a+bi\)，如复数 \(z\) 满足 \(\arg(z+z_0)=\theta\)，则 \(z\) 所表示的轨迹是以 \((a,b)\) 为端点，倾斜角为 \(\theta\) 的一条射线。

5. 复数 \(z_1,z_2,z_3\) 的辐角分别为 \(\alpha,\beta,\gamma\)，又 \(|z_1|=1\)，\(|z_2|=k\)，\(|z_3|=2-k\)，且 \(z_1+z_2+z_3=0\)，问 \(k\) 何值时 \(\cos(\beta-\gamma)\) 分别最大最小？

\(z_1'=-z_1\) 对应的向量是平行四边形的对角线。可以求出 \(cos\angle OZ_2Z_1'\)，然后 \(\gamma-\beta+\angle OZ_2Z_1'=\pi\)，用 \(k\) 表示。

又 \(||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|\)，所以求出 \(k\) 的范围。

6. 一般的，方程 \(x^{2n}+(ax+b)^{2n}=0\) 有 \(2n\) 个复数根 \(r_i,\bar{r_i}\)，则 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{r_i\bar{r_i}}=\frac{n(a^2+1)}{b}\)。

这个是因为，设 \(w_i\) 为 \(x^{2n}=-1\) 的根，除一下得到 \(w_i=\frac{ar_i+b}{r_i}\)，带入即可。

7. 已知实系数方程 \(x^3+2(k-1)x^2+9x+5(k-1)=0\) 有一个模为 \(\sqrt{5}\) 的虚根，求 \(k\) 的值，并解此方程。

虚数成对得到有根 \(c,a+bi,a-bi\)，其中 \(a^2+b^2=5\)。

由韦达定理得到关系，即可解出。

设一元 \(n\) 次多项式方程为：

\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 \quad (a_n \neq 0) \]

设该方程在复数域内的 \(n\) 个根为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $（考虑重根）。那么，

\[\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} \]

其中 $ k = 1, 2, \cdots, n $。

8. 设复平面上一个正方形的四个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程 \(x^4+px^3+qx^2+rx+s=0\) 的四个根，求这个正方形面积最小值。

设正方形中心对应的复数是 \(a\)，外接圆半径 \(r=\sqrt[4]{|b|}\)，则四个顶点都是 \((x-a)^4=b\) 的解。

展开，对比系数，可以得到 \(a,b\) 整数，所以 \(r\ge 1\)。所以面积 \(\ge 2\)，取 \(x^4=1\) 即可。

9. 已知复数 \(z\) 满足 \(11z^{100}+10iz^{99}+10iz-11=0\)，证明 \(|z|=1\)。

\(z^99=\frac{11-10iz}{11z+10i}\)，证明后者模长 \(1\) 即可。

设 \(z=a+bi\)，展开，反证，得到矛盾。

10. 设非零复数 \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)，满足 \(a_2/a_1=a_3/a_2=a_4/a_3=a_5/a_4\)，\(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4(1/a_1+1/a_2+1/a_3+1/a_4+1/a_5)=S\)，\(S\in \mathbb{R}, |S|\le 2\)，证明复平面上 \(z_1,z_2,z_3,z_4,z_5\) 对应的点在同一圆周上。

令比值为 \(q\)，只要证明 \(|q|=1\) 即可（并非是充要条件，只是充要条件）

带入可知 \((1+q+q^2+q^3+q^4)(a_1-\frac{4}{a_1q^4})=0\)。

• 前面等于 \(0\)，则 \(q^5=1\)，则 \(|q|=1\)。

• 后面等于 \(0\)，得 \(a_3^2=4\)，带入，因式分解得到 \([(q+\frac{1}{q})+\frac{1}{2}]^2=\frac{S}{a_3}+\frac{5}{4}\)。因为 \(|S|\le 2,a_3=\pm 2\)，得到 \(\frac{S}{a_3}+\frac{5}{4}\) 得范围，展开上述式子得到二次方程组，求出 \(\Delta\) 发现 \(\Delta\le 0\)，如果 \(\Delta=0\)，则 \(q=-1\)，否则 \(q\) 为虚数，\(q\cdot \bar{q}=1=|q|^2\)，成立。

[未烹饪完全]