题题-7

喵喵 1. 设 \(n\) 是正整数，在平面内放有 \(n\) 枚棋子（不一定放在不同点上）。允许进行如下操作：选择 \(A,B\) 上的各一枚棋子，并将它们移动至线段 \(AB\) 的中点。称棋子的一个分布是“可收缩的”，如果经过有限次操作后，所有棋子都在同一个点上。

求证：棋子的任何一个分布都是可收缩的当且仅当 \(n\) 是 \(2\) 的幂。

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设初始的棋子坐标为 \((x_i,y_i)\)，\(1\le i\le n\)，则 \(G(\frac{\sum x_i}{n},\frac{\sum y_i}{n})\) 不变，即为所需要移动到的同一个点。

① 充分性

可以由 \(2^k\) 归纳到 \(2^{k+1}\)。

对两组 \(2^k\) 各点，分别移动到 \(G_1,G_2\)，然后两两配对，移动到 \(G\)。

② 必要性

对于初始 \(n-1\) 个 \((0,0)\)，\(1\) 个 \((1,0)\)，则 \(G(\frac{1}{n},0)\)。

操作后分母必为 \(2\) 的幂，分子为奇数（最简分数）。

而 \(n\) 不是 \(2\) 的幂，矛盾。

[语] 横纵坐标的和是不变的，故重心不变。考虑 \(\frac{a+b}{2}\) 是有特点的，所以证明必要性。充分性相当于构造，经常可以使用归纳法。

喵喵 2. 设整数 \(n\ge 4\)。在 \(n\times n\) 的方格表的一条对角线上的每个格内有一个 +，其余每个格内有一个 -。一次操作是指将一行或一列中所有的正负号变号。求证：经过任意有限次操作后，方格表中至少还有 \(n\) 个 +。

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发现对于任意一个矩形（\((x_1,y_1),(x_2,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_2)\)）的 \(4\) 个角格，其中 + 的个数的奇偶性在操作中不变。

将每个初始的 +，即 \((i,i)\)，划分到 \(n\) 个不同的矩形即可，这样子一直是奇数，故至少有 \(1\)。

划分方案：

1	1
6	2	2			6
1	1	3	3	5	5
	2	2	4	4
		3	3	5	5
6			4	4	6

\((n=6)\)

[语] 考察个数比较困难，但是奇偶性也可以通过“划分”求出个数最小值，因为最小的奇数就是 \(1\)。这里怎么想到矩形的？因为不仅有行的操作，还有列的操作，如果是同一行的两个格子，发现列操作比较麻烦，就可以拓展成每行每列 \(2\) 个选定格子，即为矩形。

喵喵 3. 初始时，黑板上写有数对 \((1,1)\)。如果对某对 \(x,y\)，数对 \((x,y-1)\) 与 \((x+y,y+1)\) 之一写在黑板上，则可以写下另一个。对 \((x,xy)\) 与 \((\frac{1}{x},y)\) 类似。

求证：黑板上可能出现的每对数的第一个数都是正的。

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考虑对于数对 \((a,b)\)，可以生成什么数对。有 \((a+b+1,b+2),(a-b+1,b-2),(\frac{1}{a},\frac{b}{a})\)。

发现对于 \((a+b+1,b+2)\) 有 \((b+2)^2-4(a+b+1)=b^2-4a\)，对于 \((a-b+1,b-2)\) 有 \((b-2)^2-4(a-b+1)=b^2-4a\)，对于 \((\frac{1}{a},\frac{b}{a})\) 有 \((\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{1}{a}=\frac{b^2-4a}{a^2}\)。

则 \(\text{RHS}^2-4\text{LHS}\) 的符号恒不变。又 \(1^2-4\times 1<0\)，所以有 \(b^2-4a<0\)，即 \(b^2<4a\)，又 \(b^2>0\)，所以 \(a>0\)。

[语] 太聪明了，我想不出来。因为 \(b+2\) 和 \(b-2\) 相差一个常数，但是 \(a+b+1\) 和 \(a-b+1\) 相差一个 \(b\) 的一次项，所以考虑平方。