题题-6

喵喵 1. 给定单位圆内接正 \(100\) 边形，记 \(S\) 为正 \(100\) 边形的所有对角线和边长长度的平方和，记 \(T\) 为正 \(100\) 边形的一个顶点到其余 \(99\) 个顶点的距离之积，则 \(S\cdot T=\) ____。

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设为正 \(n\) 边形，则答案为 \(n^3\)。

直接证 \(S=n^2,T=n\)。

证明 \(T=n\)：

因为 \(x^n-1=\prod_{j=0}^{n-1}(x-\omega^j)\)，这里 \(\omega=e^{i\cdot \frac{2\pi}{n}}\)。

这个是因为 \((w^j)^n-1=1-1=0\)，并且互不相同。

所以 \(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1=\prod_{j=1}^{n-1}(x-w^j)\)。

这个是因为 \(x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)\)。

由对称性，不妨设取到的点为 \(1\)。

则 \(T=\prod_{j=1}^{n-1}|1-w^j|=|\prod_{j=1}^{n-1}(1-w^j)|=|1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots +1^1+1^0|=n\)。

证明 \(S=n^2\)：

设这 \(n\) 个顶点为 \(z_1,z_2,\cdots ,z_n\)，\(|z_j|=1\)，

则 \(S=\sum_{1\le j<k\le n}|z_j-z_k|^2=\sum_{1\le j<k \le n}(z_j-z_k)(\bar{z_j}-\bar{z_k})\)。

因为 \(z_j\bar{z_j}=z_k\bar{z_k}=1\)，所以

\(S=\sum_{1\le j<k\le n}(2-z_j\cdot \bar{z_k}-\bar{z_j}\cdot z_k)=2\binom{n}{2}-M\)。

又有 \(0=|\sum_{j=1}^n z_j|^2=(\sum_{i=1}^n z_j){\sum_{j=1}^n} \bar{z_j}=n+M\)。

这是因为后者多了 \(\sum_{i=1}^n z_j\bar{z_j}\)。

所以 \(M=-n\)，所以 \(S=2\binom{n}{2}+n=n^2\)。

所以答案即为 \(S\cdot T=n^3\)。对于原题，答案是 \(10^6\)。

喵喵 2. 已知 \(1,x_1,x_2,\cdots ,x_{2026}\) 是 \(x^{2027}-1=0\) 的 \(2027\) 个根，则 \(\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\cdots +\frac{1}{x_{2026}+1}=\) ____。

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法一：

不妨设 \(x_1,x_2,\cdots ,x_{2026}\) 为 \(\omega^{1},\omega^2,\cdots ,\omega^{2026}\)，\(\omega=e^{i\cdot \frac{2}{2027}\pi}\)。

则易知 \(x_k\) 与 \(x_{2027-k}\) 共轭，故 \(x_k\cdot x_{2027-k}=1\)，\(x_k+x_{2027-k}=2\)。

原式即为 \(\sum_{k=1}^{1013}(\frac{1}{x_k+1}+\frac{1}{x_{2027-k}+1})=\sum_{k=1}^{1013} \frac{x_{k}+x_{2027-k}+2}{x_kx_{2027-k}+x_k+x_{2027-k}+1}=1013\)。

法二：

引理：若 \(f(x)=\prod_{j=1}^n (x-\alpha_j)\)，\(n\ge 2\)，则

\(f'(x)=\sum_{j=1}^{n}(\prod_{i\neq j}(x-\alpha_i))\)。

引理的证明：

法一：

对 \(n\) 归纳，\(n\rightarrow n+1\)。

\(f_{n+1}(x)=f_n(x)\cdot (x-\alpha_{n+1})。\)

所以 \(f'_{n+1}(x)=f_n(x)+f'_n(x)\cdot (x-\alpha_{n+1})\)。

由归纳假设即证。

法二：

对 \(x>\max_{1\le i\le n}\{\alpha_i\}\)，有 \(\ln f(x)=\ln \prod(x-\alpha_j)\)。

左右求导，\(\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^n \frac{1}{x-\alpha_j}\)。

所以 \(f'(x)=f(x)\cdot \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{x-\alpha_j}\) 对 \(x>\max_{1\le i\le n}\{a_i\}\) 恒成立。

而 \(f'(x)\) 是一个多项式，在无穷个地方成立，由拉格朗日插值可得 \(f'(x)=\sum_{j=1}^n (\prod_{i\neq j}(x-\alpha_i))\)。

回到原题，记 \(f(x)=x^{2027}-1\)，则原式即为

\(\frac{f'(-1)}{-f(-1)}=-\frac{2026}{-2}=1013\)。

法三：

利用 \(\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots\) 带入求值。