【抽象代数】 01 - 数学的“倚天剑”
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在一般人的印象中，数学就是用来计算的，这种说法笼统讲也没有错，因为大部分的数学应用都是为了得到某个值。但如果深入到数学对象这个角度，计算有时并不是主角。最简单的例子就是大家熟悉的平面几何，它很多时候只是在研究点线之间的“关系”。代数学刚开始被用作计算的符号表示，但随着其使用范围的扩大，人们发现它还可以表示各种各样的“关系”。在集合论中，我们已经看到过“关系”的精确定义，那么这里我开始对它的深入讨论。“关系”存在于非常多的应用模型中，它们之间在本质有着非常类似的结构，抽象代数就是研究这些结构的科学。
故事还得从解方程说起，说到一元二次方程，想必大家不会忘记那个韦达定理。韦达率先将简洁的代数符号引入到公式的表达中，并给出了二次到四次方程解的代数式表示。你可能不知道，任意一元三次、四次方程解其实也是有完整的公式的，它们早在欧洲中世纪末期就被完全解决了。但奇怪的是，一元五次方程或更高次的方程，人们怎么努力都无法找到它们的根式解。正如“三大作图难题”一样，大家刚开始还是以为我们只是没有找到正确的方法，却从未想过它们根本是作不出来的！
五次方程的解一直拖到了十九世纪，拉格朗日首先发现了置换在方程解的问题中的关键作用，年轻的阿贝尔（Abel）沿着这条路证明了：五次方程并无一般性的根式解。而同样年轻的伽罗瓦则走得更远，它首先提出了群的概念，并彻底给出了方程有根式解的充要条件，将这个问题彻底解决。群的提出及伽罗瓦的理论标志着抽象代数的诞生，它将以压倒性的优势取代微积分而成为数学的支柱，它也为了近代数学和传统数学的分水岭。抽象代数是数学中的万能钥匙，它的引入几乎改变了所有数学分支的面貌，它以全新的视角重新打开了分析、几何、数论、拓扑等学科。当然，抽象代数的完全建立经历了漫长的时间，是通过无数优秀的数学家搭建起来的，你可以在网上找到它的历史概况，这里就不多说了。
Galois（1811-1832）
抽象代数如今已是一个基础的数学方法，它不仅在纯数学里起着支柱性的作用，它的思想其实有着普遍性的价值，在物理学、结晶学、密码学里都有着用武之地。本篇博客只打算介绍基础性的概念和结论，高级的内容计划令开课题。感觉自己目前的理解仍是肤浅的，还需要不断地参悟其中的精髓。个人认为抽象代数是数学里的哲学，不断地去思考其本质才是最有价值的事情，它对抽象思维的锻炼和科学方法论的建立亦有很大帮助。
【前序学科】 集合论，实数系统，初等数论
【参考资料】
[1] 《代数学引论》（2nd)，聂灵绍，2009
介绍了抽象代数的重要结论，取材广泛而深入，表达严谨而精炼，有大量的习题，部分高级内容较难。
[2] 《近世代数》，杨子胥，2000
一本不错的国内教材，内容全面，结构清晰。习题具有启发性，但部分证明没有思路提示，看起来会费劲。
[3] 《近世代数引论》，冯克勤，2002
内容概略紧凑，丰富而清晰，可以作为进阶读物。只是名词和符号过多，且使用不方便。扩展阅读部分有很多有名的应用场景。
[4] 《近世代数》（2nd)，韩士安，2009
主体内容比较浅显，对一些简单的例子讲解很详细，适合入门者。附加内容比较深入，习题也很丰富。书中有不少历史典故，可以增加阅读兴趣。
[5] 《抽象代数基础》，李克正，2007
非常紧凑地介绍了抽象代数的重要结论，并没有详细的证明，但举了非常多的例子，旨在让读者对抽象代数有个感性的认识。高级内容很深入，阅读素材有深度，适合进阶阅读。
[6] 《抽象代数概貌》，曹锡华，1990
抽象代数主要问题和结论的概述，属于学术简介，介绍的是比较前沿的问题。
[7] 《近世代数三百题》，冯克勤，2010
不错的习题集，难度较大，覆盖比较广，值得仔细思考。
[8] 《近世代数习题解》，杨子胥，2003
题量巨大，讲解详细，大部分内容较基础，适合入门者的习题集。
[9] 《古典数学难题和伽罗瓦理论》，徐诚浩，1984
群论和伽罗瓦理论的科普读物，并介绍了方程求根和作图难题的不可解性。其实也是一本专业读物，适合快速了解这些难题所需的代数知识。作者尽量挑选了必要的理论，并作了详尽的论述，是进阶的科普读物。
[10] 《Abstract Algebra》（3rd），D.S. Dummit，2004
抽象代数的经典教材，内容全面而紧凑，既包含基础内容，也有很多进阶内容。
[11] 《A first cource in Abstract Algebra》（3rd），J.J. Rotman
又一本经典教材，相比而言内容更基础，讲述十分详尽，丰富的例子有更好的直观感受，适合入门。
[12] 《Contemporary Abstract Algebra》（7th），J.A. Gallian, 2009
内容十分丰富，除了基础概念之外，有大量的习题、补充读物以及理论话题，适合进阶学习。
[13] 《Abstract Algebra》（2nd），P.A. Grillet，2006
一本研究生教材，很多高级内容比较难，适合进阶学习。
[14] 《Elements of Modern Algebra》（8th），L.Gilbert，2008
一本不错的入门书，讲解十分细致浅显，大量的例题生动直观。
[15] 多项式部分还参考了一些“高等代数”教材，详细书单请参考“线性代数”专题。
