数据结构基础温故-5.图(中):图的遍历算法

上一篇我们了解了图的基本概念、术语以及存储结构,还对邻接表结构进行了模拟实现。本篇我们来了解一下图的遍历,和树的遍历类似,从图的某一顶点出发访问图中其余顶点,并且使每一个顶点仅被访问一次,这一过程就叫做图的遍历(Traversing Graph)。如果只访问图的顶点而不关注边的信息,那么图的遍历十分简单,使用一个foreach语句遍历存放顶点信息的数组即可。但是,如果为了实现特定算法,就必须要根据边的信息按照一定的顺序进行遍历。图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求解关键路径等算法的基础。

一、图的遍历

  图的遍历要比树的遍历复杂得多,由于图的任一顶点都可能和其余顶点相邻接,所以在访问了某顶点之后,可能顺着某条边又访问到了已访问过的顶点。因此,在图的遍历过程中,必须记下每个访问过的顶点,以免同一个顶点被访问多次。为此,给顶点附加一个访问标志isVisited,其初值为false,一旦某个顶点被访问,则将其isVisited标志设为true。

        protected class Vertex<TValue>
        {
            public TValue data;     // 数据
            public Node firstEdge;  // 邻接点链表头指针
            public bool isVisited;  // 访问标志:遍历时使用

            public Vertex()
            {
                this.data = default(TValue);
            }

            public Vertex(TValue value)
            {
                this.data = value;
            }
        }

  在上面的顶点类的定义中,增加了一个bool类型的成员isVisited,用于在遍历时判断是否已经访问过了该顶点。一般在进行遍历操作时,会首先将所有顶点的isVisited属性置为false,于是可以写一个辅助方法InitVisited(),如下所示:

        /// <summary>
        /// 辅助方法:初始化顶点的visited标志为false
        /// </summary>
        private void InitVisited()
        {
            foreach (Vertex<T> v in items)
            {
                v.isVisited = false;
            }
        }

  图的遍历方法主要有两种:一种是深度优先搜索遍历(Depth-First Search,DFS),另一种是广度优先搜索遍历(Breadth-First Search,BFS)。下面,我们就来仔细看看这两种图的遍历算法。

二、深度优先搜索遍历

2.1 深度优先遍历原理

  图的深度优先遍历类似于二叉树的深度优先遍历,其基本思想是:从图中某个顶点v出发,访问此顶点,然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图,直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。显然,这是一个递归的搜索过程。

  以上图为例,假定V1是出发点,首先访问V1。这时两个邻接点V2、V3均未被访问,可以选择V2作为新的出发点,访问V2之后,再找到V2的未访问过的邻接点。同V2邻接的有V1、V4和V5,其中V1已经访问过了,可以选择V4作为新的出发点。重复上述搜索过程,继续依次访问V8、V5。访问V5之后,由于与V5相邻的顶点均已被访问过,搜索退回到V8,访问V8的另一个邻接点V6.接下来依次访问V3和V7,最后得到的访问序列为V1→V2→V4→V8→V5→V6→V3→V7。

2.2 深度优先遍历实现

  (1)实现代码

        /// <summary>
        /// 深度优先遍历接口For连通图
        /// </summary>
        public void DFSTraverse()
        {
            InitVisited(); // 首先初始化visited标志
            DFS(items[0]); // 从第一个顶点开始遍历
        }

        /// <summary>
        /// 深度优先遍历算法
        /// </summary>
        /// <param name="v">顶点</param>
        private void DFS(Vertex<T> v)
        {
            v.isVisited = true; // 首先将访问标志设为true标识为已访问
            Console.Write(v.data.ToString() + " "); // 进行访问操作:这里是输出顶点data
            Node node = v.firstEdge;

            while (node != null)
            {
                if (node.adjvex.isVisited == false) // 如果邻接顶点未被访问
                {
                    DFS(node.adjvex); // 递归访问node的邻接顶点
                }
                node = node.next; // 访问下一个邻接点
            }
        }

  深度优先遍历是一个典型的递归过程,这里也使用了递归的方式。

  (2)遍历测试

  这里的测试代码构造的图如下所示:

  测试代码如下所示:

        static void MyAdjacencyListDFSTraverseTest()
        {
            Console.Write("深度优先遍历:");
            MyAdjacencyList<string> adjList = new MyAdjacencyList<string>();
            // 添加顶点
            adjList.AddVertex("V1");
            adjList.AddVertex("V2");
            adjList.AddVertex("V3");
            adjList.AddVertex("V4");
            adjList.AddVertex("V5");
            adjList.AddVertex("V6");
            adjList.AddVertex("V7");
            adjList.AddVertex("V8");
            // 添加边
            adjList.AddEdge("V1", "V2");
            adjList.AddEdge("V1", "V3");
            adjList.AddEdge("V2", "V4");
            adjList.AddEdge("V2", "V5");
            adjList.AddEdge("V3", "V6");
            adjList.AddEdge("V3", "V7");
            adjList.AddEdge("V4", "V8");
            adjList.AddEdge("V5", "V8");
            adjList.AddEdge("V6", "V8");
            adjList.AddEdge("V7", "V8");
            // DFS遍历
            adjList.DFSTraverse();
            Console.WriteLine();
        }
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  运行结果如下图所示:

三、广度优先搜索遍历

3.1 广度优先遍历原理

  图的广度优先遍历算法是一个分层遍历的过程,和二叉树的广度优先遍历类似,其基本思想在于:从图中的某一个顶点Vi触发,访问此顶点后,依次访问Vi的各个为层访问过的邻接点,然后分别从这些邻接点出发,直至图中所有顶点都被访问到

  对于上图所示的无向连通图,若从顶点V1开始,则广度优先遍历的顶点访问顺序是V1→V2→V3→V4→V5→V6→V7→V8。

3.2 广度优先遍历实现

  (1)实现代码

        /// <summary>
        /// 宽度优先遍历接口For连通图
        /// </summary>
        public void BFSTraverse()
        {
            InitVisited(); // 首先初始化visited标志
            BFS(items[0]); // 从第一个顶点开始遍历
        }

        /// <summary>
        /// 宽度优先遍历算法
        /// </summary>
        /// <param name="v">顶点</param>
        private void BFS(Vertex<T> v)
        {
            v.isVisited = true; // 首先将访问标志设为true标识为已访问
            Console.Write(v.data.ToString() + " "); // 进行访问操作:这里是输出顶点data
            Queue<Vertex<T>> verQueue = new Queue<Vertex<T>>(); // 使用队列存储
            verQueue.Enqueue(v);

            while (verQueue.Count > 0)
            {
                Vertex<T> w = verQueue.Dequeue();
                Node node = w.firstEdge;
                // 访问此顶点的所有邻接节点
                while (node != null)
                {
                    // 如果邻接节点没有被访问过则访问它的边
                    if (node.adjvex.isVisited == false)
                    {
                        node.adjvex.isVisited = true; // 设置为已访问
                        Console.Write(node.adjvex.data + " "); // 访问
                        verQueue.Enqueue(node.adjvex); // 入队
                    }
                    node = node.next; // 访问下一个邻接点
                }
            }
        }

  和树的层次遍历类似,借助了队列这一数据结构进行辅助,记录顶点的邻接点。

  (2)遍历测试

  这里构造的图如下所示,跟上面原理中的图一致:

  测试代码如下所示:

        static void MyAdjacencyListTraverseTest()
        {
            MyAdjacencyList<string> adjList = new MyAdjacencyList<string>();
            // 添加顶点
            adjList.AddVertex("V1");
            adjList.AddVertex("V2");
            adjList.AddVertex("V3");
            adjList.AddVertex("V4");
            adjList.AddVertex("V5");
            adjList.AddVertex("V6");
            adjList.AddVertex("V7");
            adjList.AddVertex("V8");
            // 添加边
            adjList.AddEdge("V1", "V2");
            adjList.AddEdge("V1", "V3");
            adjList.AddEdge("V2", "V4");
            adjList.AddEdge("V2", "V5");
            adjList.AddEdge("V3", "V6");
            adjList.AddEdge("V3", "V7");
            adjList.AddEdge("V4", "V8");
            adjList.AddEdge("V5", "V8");
            adjList.AddEdge("V6", "V8");
            adjList.AddEdge("V7", "V8");

            Console.Write("广度优先遍历:");
            // BFS遍历
            adjList.BFSTraverse();
            Console.WriteLine();
        }
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  运行结果如下图所示:

四、非连通图的遍历

以上讨论的图的两种遍历方法都是针对无向连通图的,它们都是从一个顶点触发就能访问到图中的所有顶点。若无方向图是非连通图,则只能访问到初始点所在连通分量中的所有顶点,其他分量中的顶点是无法访问到的。如下图所示,V6、V7以及V8三个顶点均访问不到。为此,需要从其他每个连通分量中选择初始点,分别进行遍历,才能够访问到图中的所有顶点。

4.1 非连通图的深度优先遍历实现

        /// <summary>
        /// 深度优先遍历接口For非联通图
        /// </summary>
        public void DFSTraverse4NUG()
        {
            InitVisited();
            foreach (var v in items)
            {
                if (v.isVisited == false)
                {
                    DFS(v);
                }
            }
        }

  这里DFS方法跟上面无向连通图的保持一致。

4.2 非连通图的广度优先遍历实现

        /// <summary>
        /// 广度优先遍历接口For非联通图
        /// </summary>
        public void BFSTraverse4NUG()
        {
            InitVisited();
            foreach (var v in items)
            {
                if (v.isVisited == false)
                {
                    BFS(v);
                }
            }
        }

  这里BFS方法跟上面无向连通图的保持一致。

4.3 非连通图的遍历测试

  构造的图如上图所示,测试代码如下:

        static void MyAdjacencyListTraverseTest()
        {
            Console.WriteLine("------------非连通图的遍历------------");
            MyAdjacencyList<string> numAdjList = new MyAdjacencyList<string>();
            // 添加顶点
            numAdjList.AddVertex("V1");
            numAdjList.AddVertex("V2");
            numAdjList.AddVertex("V3");
            numAdjList.AddVertex("V4");
            numAdjList.AddVertex("V5");
            numAdjList.AddVertex("V6");
            numAdjList.AddVertex("V7");
            numAdjList.AddVertex("V8");
            // 添加边
            numAdjList.AddEdge("V1", "V2");
            numAdjList.AddEdge("V1", "V4");
            numAdjList.AddEdge("V2", "V3");
            numAdjList.AddEdge("V2", "V5");
            numAdjList.AddEdge("V4", "V5");
            numAdjList.AddEdge("V6", "V7");
            numAdjList.AddEdge("V6", "V8");
            Console.Write("深度优先遍历:");
            // DFS遍历
            numAdjList.DFSTraverse4NUG();
            Console.WriteLine();
            Console.Write("广度优先遍历:");
            // BFS遍历
            numAdjList.BFSTraverse4NUG();
        }
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  运行结果如下图所示:

附件下载

  本篇实现的图的遍历算法:code.datastructure.graph

参考资料

(1)程杰,《大话数据结构》

(2)陈广,《数据结构(C#语言描述)》

(3)段恩泽,《数据结构(C#语言版)》

 

posted @ 2015-07-27 00:50 Edison Chou 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏