随笔分类 -  数学

摘要：链接：Master of Phi 题意：求$\sum_{d\mid n} \phi(d)* \frac{n}{d}$，其中$n=\prod_{i=1}^{m}{p_{i}}^{q_{i}}$ 思路：设$f(n)=\sum_{d\mid n} \phi(d)* \frac{n}{d}$，显然$f(n) 阅读全文

摘要：用$g(x)=A*x^2+B*x+C$来代替原函数$f(x)$，设$g(x)$原函数为$G(x)$，显然$G(x)=\frac{1}{3}*A*x^3+\frac{1}{2}*B*x^2+C*x$ $\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b g(x) dx=G(b)-G(a 阅读全文

摘要：题目链接：Groundhog Chasing Death 题意：给你一个a，b，c，d，x，y，求$\prod_{i=a}^{b} \prod_{j=c}^{d} gcd(x^i,y^j)$的值 思路：对x，y质因数分解，对于x和y的某一个公共质因子p，假设x分解后p的幂次为a，y分解后p的幂次位为 阅读全文

摘要：题目链接：A Very Easy Math Problem 题意：给你一个T，x，k，表示有T次询问，每次询问给你一个n，求： $$\sum_{a_1=1}^{n}\sum_{a_2=1}^{n}\ldots \sum_{a_x=1}^{n}\left (\prod_{j=1}^{x}a_j^k\r 阅读全文

摘要：适用范围：给出n个点$(x_i,y_i)$，过这n个点能够确定一个最高n-1次的多项式$f(x)$，求$f(k)$ 做法：如图所示，我们将每一个点$(x_i,y_i)$在x轴上的投影$(x_i,0)$记为$H_i$。对每一个i，我们选择一个点集$\lbrace P_i\rbrace \cup \lb 阅读全文

摘要：定义：对一个数n，如果不是p的倍数且模p同余于某个数的平方，则称n为模p的二次剩余，即对一个数n，求解方程$x^2\equiv n(mod\ p)$ 二次剩余的作用：对于一个数n，如果要求$\sqrt{n} mod\ p$，可以看为n是否是模p的二次剩余，如果方程$x^2\equiv n(mod\ 阅读全文

摘要：题目链接：Triangle Collision 题意：在一个边长为L的等边三角形内有一颗小球，给出初始位置$(x,y)$和速度$(v_x,v_y)$，每次与三角形的三边碰撞都为弹性碰撞，求第k次与边碰撞是在什么时候 思路：我们可以将三角形进行扩展，如下图所示 可以看做小球在走直线，我们二分时间t，比 阅读全文

摘要：题目链接：Boundary 题意：给你n个点，问最多有多少个点与原点(0,0)在同一个圆上 思路：由于三点确定一个圆，所以如果枚举剩余的两个点，然后再枚举其他点是否在圆上，那么复杂度为$O(n^3)$，会TLE 但我们可以利用$“$同弧所对的圆周角相等$”$这一性质，所以可以先枚举一个点P，然后枚举 阅读全文

摘要：莫比乌斯反演： 1. $F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Rightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$ 2. $F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Rightarrow f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F( 阅读全文

摘要：题目链接：XOR 题意：给定n个整数，求满足子集异或和为0的子集大小之和 思路：先求出n个整数的线性基r，线性基的大小为cr，讨论每个元素对答案的贡献 线性基r外的元素共有n-cr个，对于每个元素，都能够与其他n-cr-1个线性基外的元素组合，组合后一定能在r内找到唯一的对应元素，所以每个元素对答案 阅读全文

摘要：题目链接：余数之和 题意：给定正整数$n$和$k$，计算$k\%1+k\%2+\dots+k\%n$的值 思路：因为$k\%i=k-\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor * i$，所以问题就转换为计算$n*k-\sum _{i=1}^{n}\left \l 阅读全文

摘要：题目链接：Same GCDs 题意：给你两个数$a$，$m(1 \leq a < m \leq 10^{10})$，求有多少个$x$满足：$0 \leq x < m$且$gcd(a,m)=gcd(a+x,m)$ 思路：设$gcd(a,m)=d$，那么问题转换为求多少个$k \in [a,a+m)$满 阅读全文

摘要：题意：有$n$个孩子，第$i$个孩子有$k[i]$件想要的礼物，第$j$个礼物为$a[i][j]$，现在随机挑一个孩子，从他想要的礼物里面随机挑一个，然后送给另一个孩子$($这个孩子可以和第一个孩子是同一个人$)$，问你送的这个礼物在后一个孩子愿望单里的概率。 思路：求出每件礼物出现的次数$cnt[ 阅读全文

摘要：A - 容斥原理（CodeForces - 451E） 二进制状态压缩暴力枚举哪几个花选的个数超过了总个数，卢卡斯定理求组合数，容斥原理求答案 可以先把每个花的数量当成无限个，这样就是一个多重集的组合数$ans=C_{n+m-1}^{n-1}$ 所以要减去有一种花超过花的数量的情况，加上有两种花超过 阅读全文