Ax=b 可解性与解的结构

\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\) 可解性与解的结构

​ 在上一节说明了利用消元法求解\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{0}\)，这一节在此基础上分析\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)，以及可解性与解的结构。

​ 仍使用上一节的例子，假设\(\symbfit{A}=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\)。

​ 那么增广矩阵\(\begin{bmatrix}\symbfit{A}&\symbfit{b}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&2&b_1\\2&4&6&8&b_2\\3&6&8&10&b_3\end{bmatrix}\)

​ 利用消元法，最终可以变换为：

\[\begin{bmatrix} 1& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\\ \end{bmatrix} \]

​ 这样便得到了方程组有解的一个必要条件：\(b_3-b_2-b_1=0\)。（根据线性方程组和矩阵的联系不难得出）

​ 如果假设\(\symbfit{b}=\begin{bmatrix}1 \\5 \\6\end{bmatrix}\)，那么上述矩阵就变成：

\[\begin{bmatrix} 1& 2& 2& 2& 1\\ 0& 0& 2& 4& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ \end{bmatrix} \]

​ 下面便对可解性与解的结构进行说明：

​ 可解性（Solvability）：

1. \(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)有解当且仅当\(\symbfit{b}\in\symbf{C}\left(\symbfit{A}\right)\)成立。（即\(\symbfit{b}\)必须是\(\symbfit{A}\)各列的线性组合）；
2. 如果\(\symbfit{A}\)各行的线性组合得到零行（一行的元素全是0），那么\(\symbfit{b}\)中元素的同样组合必然也是0。

​ 这两条是等价的，即满足其中任意一条，则方程组有解。

​ 下一个是求\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)的所有解（即解的结构）：

1. 只求一个特定的解，即特解\(\symbfit{x}_p\)：将所有自由变量设为0，然后解出\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)中的主变量；

​ 在上例中，\(x_2=0\)，\(x_4=0\)，解得\(x_1=-2\)，\(x_3=3/2\)，\(\symbfit{x}_p=\begin{bmatrix}-2 \\0 \\3/2\\ 0\end{bmatrix}\)。

2. 加上零空间中的任意\(\symbfit{x}_n\)；
3. \(\symbfit{x} = \symbfit{x}_p + \symbfit{x}_n\)。

​ 其正确性可以用矩阵乘法的（右）分配率简单证明：因为已知

\[\symbfit{A}\symbfit{x}_p=\symbfit{b} \\ \symbfit{A}\symbfit{x}_n=\symbfit{0} \\ \]

​ 那么有：

\[\symbfit{A}\left(\symbfit{x}_p + \symbfit{x}_n\right)=\symbfit{b} \]

​ 即，对于方程组某解，其与零空间内任意向量之和仍为解。而且第一步中求解出的特解\(\symbfit{x}_p\)并不在矩阵\(\symbfit{A}\)的零空间中（\(\symbfit{b}\neq\symbfit{0}\)），因此可以保证这是所有解。其次，也可以证明任取的特解（前提是\(\symbfit{b}\neq\symbfit{0}\)且特解不在\(\symbfit{A}\)的零空间中）与零空间向量的和包含了其他的特解：

​ 假设有特解\(\symbfit{x}_1\)与\(\symbfit{x}_2\)，那么有\(\symbfit{A}\symbfit{x}_1=\symbfit{b}\)和\(\symbfit{A}\symbfit{x}_2=\symbfit{b}\)，即\(\symbfit{A}\left(\symbfit{x}_1 - \symbfit{x}_2\right)=\symbfit{0}\)，那么就说明向量\(\left(\symbfit{x}_1 - \symbfit{x}_2\right)\)在\(\symbfit{A}\)的零空间中，那么\(\symbfit{x}_2\)就可以由\(\symbfit{x}_1\)与\(\left(\symbfit{x}_1 - \symbfit{x}_2\right)\)的线性组合得到。

​ 在上例中，由于上一节已经解出\(x_n=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}\)，那么\(x = \symbfit{x_p}=\begin{bmatrix}-2 \\0 \\3/2\\ 0\end{bmatrix} + x_n=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}\)。

​ 这个在几何上可以理解为零空间（直线、平面等）沿着特解的方向与大小做了平移。

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​ 下面将\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)的解与\(r\left(\symbfit{A}\right)\)联系起来：

​ 对于秩为\(r\)的\(m \times n\)大小的矩阵\(\symbfit{A}\)有\(r\leq m\)且\(r \leq n\)。首先考虑满秩（full rank）即\(r\)取最大的情况，又分为列满秩、行满秩和行列皆满秩三种情况，最后考虑不满秩的情况。

1. 列满秩（\(r = n < m\)）：

   所有列都有主元，没有自由变量，\(N\left(\symbfit{A}\right) = \symbfit{0}\)（因为没有自由变量赋值，\(\symbfit{R}\symbfit{x}=\symbfit{0}\)只有零向量符合）。

   此时\(\symbfit{A}\)消元后\(\symbfit{R}=\begin{bmatrix}\symbfit{I}\\\symbfit{0}\end{bmatrix}\)。

   此时\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)的解：\(\symbfit{x} = \symbfit{x}_p\)，该线性方程组有唯一解或无解（有无解得看其是否满足可解性）。

2. 行满秩（\(r = m < n\)）：

   自由变量仍是\(n - r\)个。

   此时\(\symbfit{A}\)消元后\(\symbfit{R}=\begin{bmatrix}\symbfit{I}&\symbfit{F}\end{bmatrix}\)。

   此时无论\(\symbfit{b}\)取什么，\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)都有解，因为不存在零行的情况。此时\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)有无穷多解。

3. 行列皆满秩（\(r = m = n\)）：

   此时\(\symbfit{A}\)消元后\(\symbfit{R}=\symbfit{I}\)。

   结合行满秩和列满秩的结论，不难得出无论\(\symbfit{b}\)取什么，\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)都有解，且是唯一解。

4. 不满秩（\(r < m\)，\(r < n\)）：

   此时\(\symbfit{A}\)消元后\(\symbfit{R}=\begin{bmatrix}\symbfit{I}&\symbfit{F}\\\symbfit{0}&\symbfit{0}\end{bmatrix}\)。

   此时\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{b}\)的解：无解（不满足可解性）或无穷多解（\(\symbfit{x} = \symbfit{x}_p + \symbfit{x}_n\)）。