补题日记

ARC229A

题面

对于由大写英文字母组成的字符串 S，定义 f(S) 为以下操作能够重复执行的最大次数：

• 将一个ARC子串替换为CRA。

给定一个整数 X。求一个由大写英文字母组成，长度在 [1,100] 之间的字符串 S，满足 f(S)=X。

思路

ARC -> CRA 可以把中间的 R 去掉

这时就变成构造一个含A和C的字符串使得满足 \(i<j\)，\(S_i='A',S_j='C'\) 的数量等于 X 。

现在题目转化为了构造逆序对。

考虑在C中插入A，起始25个C，每个A贡献为它后面C的数量。

CF2262A1

题面

定义

\[f(S,x)=\text{mex}\left(\left\{\left\lfloor \frac{y}{x}\right\rfloor : y\in S\right\}\right), \]

其中 \(S\) 是一个非负整数集合，\(x\) 是一个正整数。

给出一个数组 \(A\) , \(A \subseteq \{0,1,\ldots,n-1\}\) 。

构造一个集合 \(B\) , \(B \subseteq \{0,1,\ldots,n-1\}\) ，使得 \(a_k=f(B,k)\) 。

思路

因为mex是最小的未出现非负数，所以 \(B\) 中一定不能出现元素使得 \(b\div k=a_k\) 。

所以说 \([a_k*k,(a_k+1)*k-1]\) 区间内的值不能属于 \(B\) ，差分一下然后选上所有不属于这个区间的值就行。

CF2262A1

题面

和Easy一样，但求的是 \(B\) 的合法数。

pre

调和级数：$$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \approx log(n)$$

计数dp中常定义dp[i]表示最后一个选i的方案数，\(\sum_{i=l}^{r}dp[i]\) 就表示 \([l,r]\) 区间内所有元素可选可不选，且至少选一个的总方案。

思路

对于一个 \(a_k\) 需要满足 \([0,k-1],[k,k*2-1],[k*2,k*3-1] \ldots [k*(a_k-1),k*a_k-1]\) 每个区间都至少有一个元素在 \(B\) 中。

可以记录一个L数组，L[i]表示右端点为i的区间所对应最大的左端点。

这样做是因为被包含的区间可以满足它外面包着的所有区间。

现在的区间数量小于n。

开始dp。

dp[i]表示选第i个元素的方案数。

转移的过程实际上是从上一个区间向当前区间转移。具体的，令上一个区间为[l1,r1],当前为[l2,r2]，那么dp[l1,r1]的求和就代表[l1,r1]中至少选了一个，当前dp[r2]又代表r2要被选，所以此时两个区间都满足被至少选了一个元素。

更具体的，实现中可以用一个类似前缀和的东西优化这个求和过程，在算dp[r]的时候将dp[r]加入sum,而在当前区间的上一个区间不用被考虑时，我们移动左指针l1-1到当前区间的l2-1,保证sum正好记录[l1,r2-1]。

答案即sum。

ARC229B

题面

选择一个正整数 \(x_0\) 按照i=1,2,3...的顺序依次给 \(a_i\) 减去 x,每一次操作后 x 除以二向下取整。

判断是否有可能通过若干此类操作，使序列 A 的所有元素都变为 0；如果可以，求使所有元素变为 0 的最少操作次数。

思路

一下减整个数列不好做，先考虑两个相邻数。

若 \(a_i\) 减去 \(s\)，则 \(a_{i-1}\) 减去 \(2*s + [0,1]\)。

一次操作 \(a_{i-1}\) 最多比 \(a_i\) 多减 1 ，k 次操作就可以最多多减 k。

答案为 \(max(a_{i-1}-2*a_i)\) 。

整体不好想的时候先想部分，思维题大胆猜结论

CF2259H

题面

有一个数列，其中 \(a_i\) 表示距离i最近的0与i的距离为 \(a_i\)，-1表示任意数。

-1有两种状态，分别为0与其他数，求所有-1的取法方案数。

思路

首先先判有无合法序列，和easy一样用差分跑一下。

-1有三种状态：

• 必须取0
• 可以任意取
• 受到其他-1的限制

第三种状态只会出现在有一个正数 \(a_i\) 两边都是-1，这时两个-1受到对方限制。

前两种是好做的，关注第三种。

这样一对-1一定是关于他俩中间的那个正数最近的一对，也就是说一对-1中间不会有其他可取合法0。

这样就可以形成若干个-1链，链之间不相交。对于同一个链内，不能出现相邻的非零，也就是相邻-1间至少要取一个0。

dp一下就结束了。

P2055

题面

有n个人，m张床，可以建立一些对应关系，求人床匹配的对大对数。

思路

典典的二分图匹配，注意是人匹配床，所以是 人->床 的单向边。

注意到匹配过程是不断找增广路，有反悔过程，所以建图不需要想太多，构建好初始匹配关系就好。

P10292

题面

有一个数列 \(a_i\) ，构造一个数列 \(b_i\) ，过程中每次放置 \(a_j\) 至第i位时需花费 i-j 体力，总体力为k，求字典序最大的 \(b_i\) 序列，其中相邻数不能相等。

思路

很朴素的每次贪心找最大的 \(a_j\) 就是对的。

转换一下说法就是找 \([i,i+k]\) 中最大的 \(a\)。

可以用线段树维护这个过程。

有几个注意点：

• 过程中维护的是严格次大值，也就是满足次大值严格小于最大值。
• 线段树修改节点时需要把所有内容全覆盖掉，要不会保留。
• Merge的时候也需要全覆盖旧节点。