质数与合数

定义

质数又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

性质

若n为合数，则n至少有一个质因子，因此其中最小的质因子一定不大于\(\sqrt n\)
质数有无穷多个，不大于n的质数有\(\displaystyle \frac{n}{ln \ n}\)个

证明质数有无限多个（反证法）

证明：
我们不妨假设质数有有限个，共有n个
分别为\(p_1, p_2, p_3...p_n\)
我们令\(\displaystyle x = \prod_{i = 1}^n p_i \ \ + 1\)
我们可以看出\(x与p_1...p_n\)中的任何一个数都不整除，都余1
而且\(x>p_1...p_n\) 中的任意一个数
\(\therefore x\)为质数。
\(\therefore\) 假设不成立，即质数有无穷多个

算数基本定理（唯一分解定理）

每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。 ---知乎

也就是\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_k^{a_k}\)

证明:（反证法）

为了真正地证明，分解质因数的方法是唯一的，我们将再次用到反证法。
假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。
那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”，一定有一个最小的数M，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：
\(M = P_1 * P_2 * … * P_r = Q_1 * Q_2 * … * Q_s\)

下面我们将看到，这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。

不妨设\(P_1 <= P_2 <= … <= P_r, Q_1 <= Q_2 <= … <= Q_s\)。
显然，\(P_1\)是不等于\(Q_1\)的，不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。

不妨设\(P_1 < Q_1\)，那么我们用\(P_1\)替换掉等式最右边中的\(Q_1\)，得到一个比\(M\)更小的数\(T = P_1 * Q_2 * Q_3 * … * Q_s\)。

令\(M’ = M – T\)，我们得到\(M’\)的两种表达：

$M’ = (P_1 * P_2 * … * P_r) – (P_1 * Q_2 * … * Q_s) $

\(\ \ \ \ \ = P_1 * (P_2 * .. * P_r – Q_2 * … * Q_s) \ ①\)

$M’ = (Q_1 * Q_2 * … * Q_s) – (P_1 * Q_2 * … * Q_s) $

\(\ \ \ \ = (Q_1 – P_1) * Q_2 * … * Q_s \ ②\)

由于\(T\)比\(M\)小，因此\(M’\)是正整数。
从①式中我们立即看到，\(P_1\)是\(M’\)的一个质因子。
注意到\(M’\)比\(M\)小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知\(P_1\)也应该出现在表达式②中。
既然\(P_1\)比所有的\(Q\)都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个\(Q\)，于是只可能被包含在因子\((Q_1-P_1)\)里。
但这就意味着，\(\frac {Q_1-P_1}{P_1}\)除得尽，也就是说\(\frac {Q_1}{P_1-1}\)是一个整数，
这样\(\frac {Q_1}{P_1}\)也必须得是整数。我们立即看出，\(P_1\)必须也是\(Q_1\)的一个因子，这与\(Q_1\)是质数矛盾了。
这说明，我们最初的假设是错误的。

例题 CF776 B

传送门
显然这是一个沙比题

我们可以质数涂一种颜色，合数涂一种颜色，也就是两种
但是注意a可以等于b所以当a==b时答案是1