CF961G Partitions
题解
首先,答案肯定等于\(\sum w_i\) 乘上一个系数\(P\)
那么我们只要求这个系数是多少
注意到,\(W(S)=|S|\sum_{x∈S}w_x\)
那么等于\(x\)对集合中每个元素贡献了\(1\)次
那么系数\(P\)就等于一个数被贡献了多少次
显然,自己对自己的贡献是\(S(n,k)\)
其它数的贡献为\(S(n-1,k)\)
所以\(P=(n-1)*S(n-1,k)+S(n,k)\)
然后有个推式子的做法。。
\(P=\sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})\{^{n-i}_{k-1}\}\)
\(=\sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(-1)^j}{(k-1)!}\frac{(k-1)!}{j!(k-1-j)!}(k-1-j)^{n-i}\)
\(=\sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(-1)^j}{j!}\frac{(k-1-j)^{n-i}}{(k-1-j)!}\)
\(=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(-1)^j}{j!(k-1-j)!}\sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i}\)
我们推后面的部分\(\sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i}\)
\(=\sum_{i=1}^{n}(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i}+\sum_{i=1}^n(i-1)(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i}\)
\(=\sum_{i=1}^n(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i}+(n-1)\sum_{i=1}^n(^{n-2}_{i-2})(k-1-j)^{n-i}\)
\(=(k-j)^{n-1}+(n-1)(k-j)^{n-2}\)
然后就可以随便算了
