计数集锦2

近岁屡见 “\(n\) 不逾十八/\(n\) 不逾十六”之算题，故习演其法。

P6846 [CEOI 2019] Amusement Park

设有一图，以 \(x\) 次操作化为 DAG，则亦可以 \(m-x\) 次操作尽反其向。故当计 DAG 之数，终以 \(\frac m2\) 乘之。

设 \(f_S\) 为 \(S\) 中点集并其所有 \(\{(u,v)|u,v\in S\}\) 之边所构图中 DAG 之数。状态迁变之际，当枚举图中入度为零者集 \(T\)。为免算复，须凡 \(u,v\in T\)，二者间必无连边之独立集，且令 \(T\) 实为 \(S\) 中全体入度为零者之集。

前者易为，后者实难，故当容斥。若钦定 \(T\) 中诸点皆为入度零者，则隐言 \(T\) 外犹有此辈。依容斥之理，当有 \((-1)^{|T|+1}\) 之系数。由是得状态迁变之方程。

\[f_S=\sum_{\varnothing\subset T\subseteq S,T\text{ 为独立集}}(-1)^{|T|+1}f_{S\setminus T} \]

以 \(O(m2^n)\) 之速预判各集可否独立集，复以 \(O(3^n)\) 遍举子集而行迁变。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=18,M=155,P=998244353;
int n,m,x[M],y[M],op[N],f[1<<N],g[1<<N];
void add(int &x,int y){if((x+=y)>=P)x-=P;}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m,op[0]=P-1,f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;++i)
        op[i]=P-op[i-1];
    for(int i=0;i<m;++i)
        cin>>x[i]>>y[i],--x[i],--y[i];
    for(int s=0;s<(1<<n);++s)
        for(int i=0;i<m;++i)
            if((s>>x[i]&1)&&(s>>y[i]&1)){
                g[s]=1;break;
            }
    for(int s=1;s<(1<<n);++s)
        for(int t=s;t;t=(t-1)&s)
            if(!g[t])add(f[s],1ll*f[s^t]*op[__builtin_popcount(t)]%P);
    cout<<499122177ll*f[(1<<n)-1]%P*m%P<<'\n';
    return 0;
}

P11714 [清华集训 2014] 主旋律

强联通图不是很好刻画，但是 DAG 很容易，而非强联通图缩点后是一个点数超过 \(1\) 的 DAG。故可考虑非强联通图的数量 \(x\)，强联通图的数量即为 \(2^m-x\)。

\(f_S\) 为 \(S\) 中的点及其生成子图的答案，\(g_T\) 为 \(T\) 中的点拆成若干