大叔学ML第二:线性回归

基本形式

线性回归非常直观简洁,是一种常用的回归模型,大叔总结如下:

设有样本\(X\)形如:

\[\begin{pmatrix} x_1^{(1)} & x_2^{(1)} & \cdots &x_n^{(1)}\\ x_1^{(2)} & x_2^{(2)} & \cdots & x_n^{(2)}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ x_1^{(m)} & x_2^{(m)} & \cdots & x_n^{(m)}\\ \end{pmatrix} \]

对应的标记\(\vec{y}\)形如:

\[\begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \\ \vdots \\ y^{(m)} \\ \end{pmatrix}\]

其中,矩阵\(X\)的每一行表示一个样本,一共有m个样本;每列表示样本的一个属性,共有n个属性。设假设函数

\[h(x_1,x_2 \dots x_n)= \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \dots + \theta_n x_n \tag{1} \]

\(x_0=1\),则(1)式重新写为

\[h(x_1,x_2 \dots x_n)= \theta_0x_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \dots + \theta_n x_n \tag{2} \]

定义代价函数(均方误差)

\[j(\theta_0,\theta_1\dots \theta_n)=\frac{1}{2m}\sum_{k=1}^m (h(x_1^{(k)},x_2^{(k)} \dots x_n^{(k)}) - y^{(k)})^2 \]

即:

\[j(\theta_0,\theta_1\dots \theta_n)=\frac{1}{2m}\sum_{k=1}^m (\theta_0x_0^{(k)} + \theta_1 x_1^{(k)} + \theta_2 x_2^{(k)} + \dots + \theta_n x_n^{(k)} - y^{(k)})^2 \tag{3} \]

这里的分母乘以2并没有意义,只是为了求导后正好约掉。另外,其实求绝对值之和更直观,但是计算不方便,求平方后再求和效果是一样的,而且计算非常容易。我们的目标是根据样本数据求出使得代价函数取值最小的参数\(\vec\theta\),均方误差越小,说明以\(\vec\theta\)为参数的线性函数拟合样本的能力越强

求解参数\(\vec\theta\)

梯度下降法

关于梯度下降法可参考 大叔学ML第一:梯度下降

由于代价函数是一个凸函数,可以用梯度下降法找到最小值。由于用到梯度,首先对\(\theta_0\)\(\theta_1\)\(\theta_2\)直到\(\theta_n\)求偏导:

  • \(\frac{\partial}{\partial\theta_0}j(\theta_0,\theta_1\dots \theta_n) = \frac{1}{m}\sum_{k=1}^m(\theta_0x_0^{(k)} + \theta_1x_1^{(k)} + \dots+ \theta_nx_n^{(k)} - y^{(k)})x_0^{(k)}\)
  • \(\frac{\partial}{\partial\theta_1}j(\theta_0,\theta_1\dots \theta_n) = \frac{1}{m}\sum_{k=1}^m(\theta_0x_0^{(k)} + \theta_1x_1^{(k)} + \dots+ \theta_nx_n^{(k)}- y^{(k)})x_1^{(k)}\)
  • \(\dots\)
  • \(\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\theta_0,\theta_1\dots \theta_n) = \frac{1}{m}\sum_{k=1}^m(\theta_0x_0^{(k)} + \theta_1x_1^{(k)} + \dots+ \theta_nx_n^{(k)}- y^{(k)})x_n^{(k)}\)

可归纳为:\(\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\theta_0,\theta_1\dots \theta_n) = \frac{1}{m}\sum_{k=1}^m(\theta_0x_0^{(k)} + \theta_1x_1^{(k)} + \dots+ \theta_nx_n^{(k)}- y^{(k)})x_n^{(k)}\tag{4}\)

万事俱备,现在可以编程了。创建一组测试数据,每组数据包括3个属性,我们来编码拟合出一个线性函数:

import numpy as np

def gradient(X, Y, m, theta):
    ''' 求theta位置的梯度.

    Args:
        X: 样本
        Y: 样本标记
        m: 样本数
        theta: 欲求梯度的位置
    
    Returns:
        gi: theta处函数的梯度值
    '''
    theta_size = np.size(theta)
    g = np.zeros(theta_size)

    for i in range(theta_size):   
        gi = 0 #第i个theta分量对应的偏导     
        for j in range(m):
            gi += ((np.dot(X[j], theta) - Y[j]) * X[j, i])
        gi = gi / m 
        g[i] = gi

    return g

def gradient_descent(X, Y, step = 0.02, threshold = 0.01):
    ''' 梯度下降法求使代价函数最小的 theta

    Args:
        X: 样本
        Y: 样本标记
        step:步长
        threshold:梯度模长阈值,低于此值时停止迭代
    Returns:
        theta: 使代价函数取最小值的theta
    '''
    theta = np.random.rand(4)    
    grad = gradient(X, Y, np.size(X, 0), theta)
    norm = np.linalg.norm(grad)
    
    while(norm > threshold):
        theta -= step * grad
        grad = gradient(X, Y, np.size(X, 0), theta)
        norm = np.linalg.norm(grad)
    return theta

''' 以下是测试数据 '''

# 测试用线性函数
def linear_function(x1, x2, x3):
    result = 1 + 2 * x1 + 3 * x2 + 4 * x3 
    result = result + np.random.rand() # 噪音
    return result

# 计算函数值
def calculate(X):    
    rowsnumber = np.size(X, axis = 0)    
    Y = [linear_function (X[i, 0], X[i, 1], X[i, 2]) for i in range(0, rowsnumber)]
    return Y

if __name__ == "__main__":
    row_count = 500
    X = np.random.randint(0, 10, (row_count, 3)) # 随机产生row_count个样本
    Y = calculate(X) # 计算标记

    X0 = np.ones((row_count, 1)) 
    X = np.hstack((X0, X)) # 补充一列1

    theta = gradient_descent(X, Y)
    print('theta is ', theta)

运行结果:theta is [1.41206515 2.00558441 3.0013728 4.00684577]

上面的迭代方法被称为批量梯度下降法,参考式(4),计算梯度时用到了所有的样本。梯度下降法还有个简化的版本,叫做随机梯度下降法,每次计算梯度时只随机使用一个样本,而不是所有样本,这样可以加快计算速度。将式(4)修改为:

\[\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\theta_0,\theta_1\dots \theta_n) = (\theta_0x_0^{(k)} + \theta_1x_1^{(k)} + \dots+ \theta_nx_n^{(k)}- y^{(k)})x_n^{(k)} \tag{5} \]

其中:\(1 \leq k \leq m\)

将上面Python代码中的方法gradient替换一下:

def gradient_sgd(X, Y, m, theta):
    ''' 求theta位置的梯度.

    Args:
        X: 样本
        Y: 样本标记
        m: 样本数
        theta: 欲求梯度的位置
    
    Returns:
        gi: theta处函数的梯度值
    '''
    theta_size = np.size(theta)
    g = np.zeros(theta_size)

    for i in range(theta_size):   
        random_Index = np.random.randint(1, m + 1)
        gi = ((np.dot(X[random_Index], theta) - Y[random_Index]) * X[random_Index, i])
        g[i] = gi

    return g

运行结果:
theta is [1.43718942 2.00043557 3.00620849 4.00674728]

感觉像是飞起来。随机梯度下降法肯定没有批量梯度下降法准确,所有还有第三种下降法,叫做小批量梯度下降法,介于批量梯度下降法和随机梯度下降法之间,每次计算梯度使用随机的一小批样本,此处不再code说明。

正规方程导法

因为代价函数是个凸函数,那么我们可以对代价函数求导,让其导数等于0的点即为最小值点。

为方便计算,我们在前面增加了一个值恒等于1的\(x_0\),这样就把线性函数的偏置项去掉了,参考式(2),重新定义矩阵\(X\)为:

\[\begin{pmatrix} x_0^{(1)} & x_1^{(1)} & x_2^{(1)} & \cdots &x_n^{(1)}\\ x_0^{(2)} &x_1^{(2)} & x_2^{(2)} & \cdots & x_n^{(2)}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ x_0^{(m)} & x_1^{(m)} & x_2^{(m)} & \cdots & x_n^{(m)}\\ \end{pmatrix}\]

代价函数式(3)等价于:

\[J(\vec\theta)=\frac{1}{2m}||X\vec\theta - \vec{y}||^2 \tag{6} \]

化简式(6):

\[\begin{align} J(\vec\theta)&=\frac{1}{2m}||X\vec\theta - \vec{y}||^2 \\ &=\frac{1}{2m}(X\vec\theta - \vec{y})^T(X\vec\theta - \vec{y}) \\ &=\frac{1}{2m}(\vec\theta^TX^T - \vec{y}^T)(X\vec\theta - \vec{y}) \\ &=\frac{1}{2m}(\vec\theta^TX^TX\vec\theta - \vec\theta^TX^T\vec{y}- \vec{y}^TX\vec\theta + \vec{y}^T\vec{y})\\ &=\frac{1}{2m}(\vec\theta^TX^TX\vec\theta - 2\vec{y}^TX\vec\theta + \vec{y}^T\vec{y})\\ \end{align}\]

\(\vec\theta\)求导:

\[\frac{d}{d\vec\theta}J(\vec\theta)=\frac{1}{m}(X^TX\vec\theta-X^T\vec{y}) \]

令其等于0,得:$$\vec\theta=(XTX){-1}X^T\vec{y}\tag{7}$$

将上面的Python代码改为:

# 测试用线性函数
def linear_function(x1, x2, x3):
    result = 1 + 2 * x1 + 3 * x2 + 4 * x3 
    result = result + np.random.rand() # 噪音
    return result

# 计算函数值
def calculate(X):    
    rowsnumber = np.size(X, axis = 0)    
    Y = [linear_function (X[i, 0], X[i, 1], X[i, 2]) for i in range(0, rowsnumber)]
    return Y

if __name__ == "__main__":
    row_count = 500
    X = np.random.randint(0, 10, (row_count, 3)) # 随机产生row_count个样本
    Y = calculate(X) # 计算标记

    X0 = np.ones((row_count, 1)) 
    X = np.hstack((X0, X)) # 补充一列1

    theta = np.dot(np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(X.T, X)), X.T), np.array(Y).T)
    print('theta is ', theta)

运行结果:theta is [1.49522638 1.99801209 2.99704438 4.00427252]

和梯度下降法比较,光速的感觉,那为什么还要用梯度下降法呢?这是因为求矩阵的逆算法复杂度较高,达爷的建议是:如果样本的属性超过一万个,考虑使用梯度下降法。

调用函数库

其实我们也可以直接调用类库的,有很多类库可以做回归算法,比如:

import numpy as np
from sklearn import linear_model

# 测试用线性函数
def linear_function(x1, x2, x3):
    result = 1 + 2 * x1 + 3 * x2 + 4 * x3 
    result = result + np.random.rand() # 噪音
    return result

# 计算函数值
def calculate(X):    
    rowsnumber = np.size(X, axis = 0)    
    Y = [linear_function (X[i, 0], X[i, 1], X[i, 2]) for i in range(0, rowsnumber)]
    return Y

if __name__ == "__main__":
    row_count = 500
    X = np.random.randint(0, 10, (row_count, 3)) # 随机产生row_count个样本
    Y = calculate(X) # 计算标记

    regr = linear_model.LinearRegression()
    regr.fit(X, np.array(Y).T)

    a, b = regr.coef_, regr.intercept_
    print(a)
    print(b)

运行结果:
[2.00384674 2.99234723 3.99603084]
1.5344826581936104

和我们自己算的差不多吧。还有很多其他的类库可以调用,大叔没有一一去找。可能通常只要调用类库就足够了,不需要我们自己写,不过还是知道原理比较好,遇到问题才好对症下药。

我是这样理解的:我们能够调用到的常见的(广义)线性回归库,其实内部都是用直接求导法实现的(没有看过源码,猜测是直接求导,如果是梯度下降,不太可能自动算出步长),如果样本的属性比较少,比如少于一万个,调用类库就好,类库肯定比我们大部分人自己写的强,但是当样本属性非常多时,用直接求导法求解速度太慢,这时才需要我们自己写梯度下降代码。

posted @ 2018-12-15 19:13  会长  阅读(709)  评论(2编辑  收藏  举报