实分析第一章

第一节

第一节有四个引理，分别是：

1. 如果一个矩形是有限多个几乎不相交的矩形的并，那么矩形的体积等于这些几乎不相交矩形体积的和。
2. 如果一个矩形被有限多个矩形的并包含，那么矩形的体积小于这些矩形体积的和。
3. \(\mathbb{R}\)上开集可以独一无二地写成是可数多个开区间的并。
4. \(\mathbb{R}^{d}\)上开集可以写成是可数多个闭立方体的并。

第一节主要是通过这些引理，建立怎么将开集划分为不相交且可测的子集，整体的体积就为子集体积之和。我们需要把这种思想推广到更一般的集合中去。

第二节

第二节介绍了外测度及一些观察。对于一个集合来说，我们可以用可数多个闭立方体覆盖它，每一种覆盖所对应的体积就是这些闭立方体体积之和。一个集合的外测度就是这些体积的inf。对于常见的集合，它们的外测度可很容易求证，如点的外测度为0，开或闭立方体的外测度为立方体的体积。有了集合的外测度，我们可以探讨多个集合的外测度是什么样的。一些观察如下：

1. 如果一个集合包含另一个集合，那么大集合的外测度要大于小集合的。
2. 如果一个集合为可数多个集合的并，那么大集合的外测度小于这些小集合外测度的和。
3. 一个集合可以用开集去覆盖，这些开集外测度的inf就是这个集合的外测度。
4. 如果两个集合的距离大于0，那么它们的外测度可加。
5. 如果一个集合是可数多个几乎不相交闭立方体的并，那么大集合的外测度等于立方体体积之和。

虽然有如上结论，但如果两个集合不相交的话，还是不一定有可加性。为此定义了可测集。

第三节

由于一个集合的外测度可以由开集的外测度无限逼近，如果此开集相对集合的补集的外测度无限趋近于0的话，那么这个集合是可测的，且测度等于外测度。可测集合有如下性质：

1. 每个开集都是可测的。
2. 集合外测度为0，则可测。
3. 可数多个可测集的并是可测的。
4. 闭集是可测的。
5. 可测集的补集是可测的。
6. 可数多个可测集的交是可测的。

有了以上性质，我们可以证明可数可加性。这里有一个推论是说，如果有一系列不断递增的子集，它们的并为一个集合，那它们的测度也不断逼近这个集合的测度。还有一些对可测集的等价定义：

1. 可测集用开集从外逼近，其补集的测度可无限小。
2. 可测集用闭集从内逼近，其补集的测度可无限小。
3. 如果可测集测度有限，可用紧集从内逼近，其补集的测度可无限小。
4. 如果可测集测度有限，存在有限个闭立方体的并，它和集合的对称差异无限小。

第四节

可测函数的一个定义是，对于定义在可测集的函数，如果区间\([-\infty, a]\)的原像为可测集。它还有一些等价的定义，这里就不一一介绍。可测函数有以下性质：

1. 开集的原像或闭集的原像是可测的，那么是可测函数。
2. 连续函数是可测的。如果一个函数\(f\)可测并有限，另一个函数是连续的，那么\(f\circ g\)是可测的.
3. 如果有一个序列的可测函数，那么这个序列的inf，sup，liminf，limsup都是可测的。
4. 一个序列的可测函数的极限也是可测的。
5. 可测函数\(f\)的power也是可测的。如果两个函数可测且有限，那么它们的和以及\(\circ\)都是可测的。
6. \(f\)可测，而\(f\)和\(g\)几乎每个位置都相等，那么\(g\)也是可测的。

可测函数可以用简单函数进行逼近：

1. \(\mathbb{R}^{d}\)上的非负可测函数可用非负的递增简单函数序列逼近。
2. \(\mathbb{R}^{d}\)上的可测函数可用绝对值递增简单函数序列逼近。
3. \(\mathbb{R}^{d}\)上的可测函数可用阶梯函数序列逼近。

第一章还有littlewood的三原则，这个之后在看。