洛谷 P17728 [SCP-J 2026] 染色 / color 题解

洛谷 P17728 [SCP-J 2026] 染色 / color 题解

前言

昨天打 SCP-J 2026 时，这道题只得了 76pts，写一篇题解来祭奠我可怜的 176pts。

---

思路分析

原题传送门：洛谷 P17728 [SCP-J 2026] 染色 / color

若将 \(\left[A_{1},A_{n}\right]\) 全部染成红色，则得分如下：

\[\left(A_2-A_1\right)+\left(A_3-A_2\right)+\cdots+\left(A_n-A_{n-1}\right)=A_n-A_1 \]

通过上面的例子，可以发现一个结论：

将一段区间染成同一个颜色，其得分为最后一个数减去第一个数，不管区间是否连续。

---

若整个数组全部染成红色，则得分为 \(A_n-A_1\)，所以我们将 \(ans\) 初始化为 \(A_n-A_1\)。

若将这个数组染成两种不同的颜色（不妨假设将数组开头染成红色），设蓝色区间的首项为 \(A_k\)，从 \(2\) 到 \(n\) 枚举这个 \(k\)。

情况 1

若将数组结尾染成蓝色，则设红色区间的尾项为 \(A_m\)，则得分为 \(\left(A_m-A_1\right)+\left(A_n-A_k\right)\)。我们只需要找到 \(A_m\) 的最大值。

红色区间的尾项 \(A_m\) 既可以在 \(A_{k-1}\)，也可以在 \(\left[A_{k+1},A_{n-1}\right]\) 区间内，所以 \(A_m\) 的最大值为 \(\displaystyle\max(A_{k-1},\max_{k+1\leq i\leq n-1} A_i)\)。

情况 2

若将数组结尾染成红色，则设蓝色区间的尾项为 \(A_m\)，则得分为 \(\left(A_n-A_1\right)+\left(A_m-A_k\right)\)，所以也要找到最小的 \(A_m\)。

当蓝色区间只有一项时，\(A_m\) 在 \(A_k\) 的位置；当蓝色区间有多项时，\(A_m\) 在 \(\left[A_{k+1},A_{n-1}\right]\) 区间内。所以 \(A_m\) 的最大值为 \(\displaystyle\max(A_k,\max_{k+1\leq i\leq n-1}A_i)\)。

注意：因为要将数组结尾染成红色，所以蓝色区间的起点必须在 \(A_n\) 之前，即 \(k<n\)。

代码实现

这里可以使用后缀最大值数组维护 \(\max A_i\)。时间复杂度为 \(O(n)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[200005], maxn[200005];
int n;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    memset(maxn, 128, sizeof(maxn)); // 将数组初始化为一个接近 int 类型下限的负数
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
        maxn[i] = max(maxn[i + 1], a[i]);
    
    int ans = a[n] - a[1]; // 全部染一种颜色
    for (int k = 2; k <= n; k++) {
        // 分类讨论
        // 情况一：数组头尾染色不同
        int maxa = max(a[k - 1], maxn[k + 1]);
        ans = max(ans, (a[n] - a[k]) + (maxa - a[1]));

        // 情况二：数组头尾染色相同
        if (k < n) {
            maxa = max(a[k], maxn[k + 1]);
            ans = max(ans, (a[n] - a[1]) + (maxa - a[k]));
        }
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

代码简化

这里，我们不难发现，代码里有很多重复的部分。\(A_m\) 其实就是在算 \(\displaystyle\max_{k-1\leq i\leq n-1}\)。所以我们实际上可以大大简化代码。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[200005], maxn[200005];
int n;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    memset(maxn, 128, sizeof(maxn)); // 将数组初始化为一个接近 int 类型下限的负数
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
        maxn[i] = max(maxn[i + 1], a[i]);
    
    int ans = a[n] - a[1]; // 全部染一种颜色
    for (int k = 2; k <= n; k++)
        ans = max(ans, a[n] - a[1] + maxn[k - 1] - a[k]);

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}