一种亚像素配准方法的过程推导（Keren，1988）

原文：Image Sequence Enhancement Using Sub-pixel Displacements

这里做一下原文中亚像素配准计算过程的细化推导，对结果对比部分暂时不做展示。

目的是解释MLTP（互局部三值模式）配准中对位移及旋转角度的求解公式。

1、原理（假设）

        我们将图像帧视为两个函数 f 和 g 的关系，水平方向位移为a，垂直方向位移为b，旋转角度为θ，满足如下关系：

        如果我们将sin(θ)和cos(θ)按泰勒展开取到二阶项：

         （2-1）泰勒展开公式，由此可得（2-2）和（3）的二阶近似，代入1中会得到（4）：

         将 f 近似为其泰勒展开的第一项，式（5）为二元函数 f(x,y) 的一阶泰勒展开，由此可得（4）式的泰勒展开近似结果（6）：

 2、求解a、b、θ的值

      函数 g 和旋转、平移后的函数 f 间的误差可由下式近似表示：

      对（7）式整理，并忽略二阶无穷小项：

 

      如果我们通过计算三个参数的偏导数等于0来寻求误差 E 的最小化，那么忽略非线性项和高阶（忽略二阶及以上，7-2式）小项后，我们得到如下的线性方程系统，并对重叠区域求和，其中 R 是缩写形式，见式（8）。对a、b、θ分别求偏导数如下（9、10、11）：  

 

     由式（9）、（10）、（11）可得矩阵运算形式（12）：

 

     (12)式用简化式表示为（13），通过求逆矩阵Φ^-1的方式便可位移和旋转角度a、b、θ。

 

     到此，推导完毕，进一步配准的过程后面再补充。