DP例题

奇怪的银行

题面

某银行因不明原因，突然限制客户取钱，限制客户一次操作只能取下列情况之一的金额：

• $ 1 $元

• $ 6 $元, $ 6^{2} $元, $ 6^{3} $元...

• $ 9 $元, $ 9^{2} $元, $ 9^{3} $元...

至少需要多少次操作才能取出\(N\)(\(1\leq N \leq 100000\))元。不允许边存边取。

分析

通过简单的计算，我们不难推出最多取\(7\)次，就一定能取完。

设\(f[i]\)为取\(i\)元钱至少要的操作次数。

那么\(f[i]\)一定是有上一个再取\(1\)或\(6^{k}\)或\(9^{k}\)元得到的。

转移方程:\(f[i]=\begin{cases}min(f[i-sum1]+1,f[i])\\min(f[i-sum2]+1,f[i])\\min(f[i],f[i-1]+1)\end{cases}\)

Code:

for(int i=1;i<=n;i++)f[i] = inf;
	f[1] = 1;
	f[0] = 0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		int sum1 = 6,sum2 = 9;
		for(int j=1;j<=7;j++)
		{
			if(i - sum1 >= 0)f[i] = min(f[i - sum1] + 1,f[i]);
			if(i - sum2 >= 0)f[i] = min(f[i - sum2] + 1,f[i]);
			f[i] = min(f[i],f[i - 1] + 1);	
			sum1 *= 6,sum2 *= 9;
		}
	}

序列涂色

题面

给你一个长度为\(N\)的序列:\(A={A_{1},A_{2},...,A_{N}}\),对于\(N\)个整数,我们可以为每一个整数涂上颜色。但要求满足下面这个条件：

如果\(A_{i}\)与\(A_{j}(i<j)\)被涂上同一种颜色，那一定满足\(A_{i}<A_{j}\)

找到满足上述条件的最小颜色数。

\(1 \leq N \leq 10^5\),\(0 \leq A_i \leq 10^9\)

分析

这题思路很明确。。。

设\(f[i]\)为前\(i\)个数所涂的最小颜色数，\(f[i]=min(f[i],f[j]+1)(a[i]<a[j],i<j)\)

\(10^{5}\)的数据你去跑呀。。。

这道题再加个二分即可，如果\(f[mid]<a[i]\),那么我们应该往左边找；如果\(f[mid] > a[i]\)我们就应该往右找。

Code:

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		l = 1,r = cnt,m = 0;
		int flag = 0;
		while(l <= r)
		{
			int mid = (l + r) >> 1;
			if(f[mid] < a[i])
			{
				flag = mid;
				r = mid - 1,m = 1;
			}
			else l = mid + 1;
		}
		if(!m)f[++cnt] = a[i];
		else f[flag] = a[i];
	}