kruskal算法【最小生成树2】
设G=（V，E）是无向连通带权图，V={1，2，…，n}；
设最小生成树T=（V，TE），该树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}），Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。
它首先将所有的边按权值从小到大排序，然后只要T中选中的边数不到n-1，就做如下的贪心选择：
在边集E中选取权值最小的边（i，j），如果将边（i，j）加入集合TE中不产生回路（圈），则将边（i，j）加入边集TE中，即用边（i，j）将这两个连通分支合并连接成一个连通分支；
否则继续选择下一条最短边。把边（i，j）从集合E中删去。
继续上面的贪心选择，直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。
此时，选取到的n-1条边恰好构成G的一棵最小生成树T。
那么，怎样判断加入某条边后图T会不会出现回路呢？
该算法对于手工计算十分方便，因为用肉眼可以很容易看到挑选哪些边能够避免构成回路（避圈法），但使用计算机程序来实现时，还需要一种机制来进行判断。
Kruskal算法用了一个非常聪明的方法，就是运用集合避圈：
如果所选择加入的边的起点和终点都在T的集合中，那么就可以断定一定会形成回路（圈）。其实就是我们前面提到的“避圈法”：边的两个结点不能属于同一集合。
步骤1：初始化。将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，边集TE={}，把每个顶点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合。
步骤2：在E中寻找权值最小的边（i，j）。
步骤3：如果顶点i和位于两个不同连通分支，则将边（i，j）加入边集TE，并执行合并操作，将两个连通分支进行合并【即两个顶点设置成同一个集合号，一般向小集合号合并】。
步骤4：将边（i，j）从集合E中删去，即E=E-{（i，j）}。
步骤5：如果选取边数小于n-1，转步骤2；否则，算法结束，生成最小生成树了。
适用范围：要求无向图
kruskal算法（读者可以将其读作“克鲁斯卡尔算法”同样是解决最小生成树问题的一个算法。和prim算法不同，kruskal算法采用了边贪心的策略，其思想极其简洁，理解难度比prim算法要低很多。
kruskal算法的基本思想为：在初始状态时隐去图中的所有边，这样图中每个顶点都自成一个连通块。
之后执行下面的步骤：
①对所有边按边权从小到大进行排序。
②按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中；否则，将边舍弃。
③执行步骤②，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减1或是测试完所有边时结束。
而当结束时如果最小生成树的边数小于总顶点数减1，说明该图不连通。
接下来以图10-51a为例，给出对该图执行kruskal算法的步骤。
①当前图中边权最小的边为V。V，权值为1。由于Vo和V4在不同的连通块中，因此把边VoVa加入最小生成树中，此时最小生成树中有1条边，权值之和为1，如图10-51所示。
因此，kruskal算法的思想简单说来就是：
每次选择图中最小边权的边，如果边两端的顶点在不同的连通块中，就把这条边加入最小生成树中。
1 //边集定义部分 2 struct edge 3 { 4 int u，v；//边的两个端点编号 5 int cost；//边权 6 }E[MAXE]；//最多有MAXE条边 7 8 bool cmp(edge a，edge b) 9 { 10 return a.cost <b.cost； 11 } 12 13 //并查集部分 14 int father[MAXV]；//并查集数组 15 int findFather(int x) 16 {//并查集查询函数 17 int a=x； 18 while(x！=father[x]) 19 x=father[x]； 20 //路径压缩 21 while(a！=father[a]) 22 { 23 int z = a； 24 a = father[a]； 25 father[z]=x； 26 } 27 return x； 28 } 29 30 //kruskal部分，返回最小生成树的边权之和，参数n为顶点个数，m为图的边数 31 int kruskal(int n，int m) 32 {//ans为所求边权之和，Num Edge为当前生成树的边数 33 int ans=0，Num Edge=0； 34 for(int i=0；i<n；i++)//顶点范围是[0，n-1] 35 father[i]=i；//并查集初始化 36 sort(E，E+m，cmp)；//所有边按边权从小到大排序 37 for(int i=0；i<m；i++) 38 {//枚举所有边 39 int faU=findFather(E[i].u)；//查询测试边两个端点所在集合的根结点 40 int faV=findFather(E[i].v)； 41 if(faU！=faV) 42 {//如果不在一个集合中 43 father[faU]=faV；//合并集合(即把测试边加入最小生成树中) 44 ans += E[i].cost；//边权之和增加测试边的边权 45 Num_Edge++；//当前生成树的边数加1 46 if(Num_Edge == n-1) 47 break；//边数等于顶点数减1时结束算法 48 } 49 } 50 if(Num_Edge！=n-1) 51 return -1；//无法连通时返回-1 52 else 53 return ans；//返回最小生成树的边权之和 54 }
