孙子定理，模线性同余方程

参考博客

Acdreamer

中国剩余定理

解线性同余方程，运用拉格朗日插值法，得孙子定理

模板

int m[maxn];
int  China(int a[],int n,int b[])//其中a[]是模数，b[] 是余数
{
    int M = 1;
    for(int i = 0;i < n;++i)
        M *= a[i];
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < n;++i)
    {
        int Mi = M/a[i];
        LL x,y;
        ex_gcd(Mi,a[i],x,y);
        ans += b[i] * x*Mi;
    }
    ans = (ans%M + M) %M;
    return ans;
}

扩展

如果模数两两不互素,就合并两个模数
假设
         y=a1(mod m1)$y=a_1(mod{m}_1)$
         y=a2(mod m2)$y=a_2(mod{m}_2)$
         gcd(m1,m2)!=1$gcd(m_1,m_2)!=1$
则有
         x≡a1+t1∗m1(mod m1);1$x\equiv a_1+t_1\ast m_1(mod{m}_1);1$
         x≡a2+t2∗m2(mod m2);2$x\equiv a_2+t_2\ast m_2(mod{m}_2);2$
         t1∗m1−t2∗m2=a1−a2$t_1\ast m_1-t_2\ast m_2=a_1-a_2$
        利用欧几里得扩展求出 t1$t_1$带入1 求出x$x$

y=x(mod lcm(m1,m2))$$y=x(modlcm(m_1,m_2))$$