【UOJ#269】【清华集训2016】如何优雅地求和
题目大意
求
\[\sum_{i=0}^n f(i){n\choose i} x^i (1-x)^{n-i}
\]
模\(998244353\)
\(f\)是一个\(m\)次多项式，以\(0\)到\(m\)的点值给出。
\(n\leq 10^9,m\leq 2*10^4,0\leq x<998244353\)
题解
式子后面长得很像二项式定理，我们要想办法把\(f(i)\)分离出来。
一种高妙的做法是把\(f\)转成下降幂形式。可能是我做题太少没见过吧
令
\[f(x)=\sum_{i=0}^m g_i x^{\underline{i}}
\]
则
\[\begin{aligned}
ans&=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m g_j i^{\underline{j}} {n\choose i} x^i (1-x)^{n-i}\\
&=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m g_j n^{\underline{j}} {n-j \choose n-i} x^i (1-x)^{n-i}\\
&=\sum_{i=0}^m g_i n^{\underline{i}} x^i \sum_{j=i}^n {n-i \choose n-j} x^{j-i} (1-x)^{n-j}\\
&=\sum_{i=0}^m g_i n^{\underline{i}} x^i\\
\end{aligned}
\]
然后就是要把连续点值的多项式转成下降幂。
\[\begin{aligned}
f(n)&=\sum_{i=0}^m g_i n^{\underline{i}}\\
\frac{f(n)}{n!}&=\sum_{i=0}^m g_i \frac{1}{(n-i)!}
\end{aligned}
\]
不妨设\(g\)从第\(m+1\)位开始都是\(0\)，这样长度可以当成\(\infty\)
\[\begin{aligned}
F&=G*e^x\\
G&=F*e^{-x}
\end{aligned}
\]
\(F\)和\(e^{-x}\)长度都是\(\infty\)，所以前\(m\)位卷起来取前\(m\)位是对的。
这样就可以\(O(n\log n)\)通过这题。
更为通俗的方法
一种不高妙的方法是把\(f\)二项式反演。
推式子的过程和复杂度都是一样的，但是转成组合数形式就不用那么麻烦了。
其实我写上面那个方法只是想加深对生成函数的理解而已
