51nod 1040 欧拉函数

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1040 最大公约数之和

题目来源： rihkddd

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input

1个数N(N <= 10^9)

Output

公约数之和

Input示例

6

Output示例

15

ans=SUM{gcd(x,n) | x>=1&&x<=n }
注意到gcd(x,n)一定是n的约数，我们令g(n,i)表示gcd(x,n)==i的x的个数，这样ans=SUM{i*g(n,i) | n%i==0 }
由gcd(x,n)==i ==> gcd(x/i,n/i)==1,所以转化为求满足gcd(x/i,n/i)==1的x/i的个数，显然x/i<=n/i,二者互素，答案就是phi(n/i);
只要枚举出所有的因子就好了计算phi就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long 
 
LL Euler(LL n)
{
    LL i, temp = n;
    for (i = 2;i*i <= n;i++)
        if (n%i == 0)
        {
            while (n%i == 0)
                n = n / i;
            temp = temp / i*(i - 1);
        }
    if (n != 1)
        temp = temp / n*(n - 1);
    return temp;
}
 
int main()
{
    LL n, i, sum, k;
    while (scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        sum = 0;
        for (i = 1;i*i <= n;i++)
        {
            if (n%i == 0)
                sum = sum + Euler(n / i)*i;
            k = n / i;
            if (n%k == 0 && k != i)
                sum = sum + Euler(n / k)*k;
        }
        printf("%lld\n", sum);
    }
    return 0;
}