通俗机器学习—朴素贝叶斯

引言 机器学习分类中的k近邻法和决策树师确定的分类算法,数据实例最终会被明确划分到某个分类中,本节我们讨论的分类算法将不能

完全确定数据实例应该划分到某个分类,或者智能给出数据实例属于给定分类的概率

 

一 朴素贝叶斯算法 

1. 简介

NaïveBayes算法,又叫朴素贝叶斯算法,朴素:特征条件独立;贝叶斯:基于贝叶斯定理。属于监督学习的生成模型,实现简单,没有迭代,并有坚实的数学理论(即贝叶斯定理)作为支撑。在大量样本下会有较好的表现,不适用于输入向量的特征条件有关联的场景。

2. 基本思想

 (1)病人分类的例子

 某个医院早上收了六个门诊病人,如下表:

 症状  职业   疾病

——————————————————

打喷嚏 护士   感冒

打喷嚏 农夫   过敏

头痛  建筑工人 脑震荡

头痛  建筑工人 感冒

打喷嚏 教师   感冒

头痛  教师   脑震荡

现在又来了第七个病人,是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大?

根据贝叶斯定理:

P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)

可得

P(感冒|打喷嚏x建筑工人)

= P(打喷嚏x建筑工人|感冒) x P(感冒) / P(打喷嚏x建筑工人)

假定”打喷嚏”和”建筑工人”这两个特征是独立的,因此,上面的等式就变成了

P(感冒|打喷嚏x建筑工人)= P(打喷嚏|感冒) x P(建筑工人|感冒) x P(感冒) / P(打喷嚏) x P(建筑工人)

这是可以计算的。

P(感冒|打喷嚏x建筑工人)= 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33= 0.66

因此,这个打喷嚏的建筑工人,有66%的概率是得了感冒。同理,可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率,就可以知道他最可能得什么病。

这就是贝叶斯分类器的基本方法:在统计资料的基础上,依据某些特征,计算各个类别的概率,从而实现分类。

 

(2)朴素贝叶斯分类器的公式

 

假设某个体有n项特征(Feature),分别为F1、F2、…、Fn。现有m个类别(Category),分别为C1、C2、…、Cm。贝叶斯分类器就是计算出概率最大的那个分类,也就是求下面这个算式的最大值:

P(C|F1F2...Fn) = P(F1F2...Fn|C)P(C) / P(F1F2...Fn)

由于 P(F1F2…Fn) 对于所有的类别都是相同的,可以省略,问题就变成了求

P(F1F2...Fn|C)P(C)的最大值。

朴素贝叶斯分类器则是更进一步,假设所有特征都彼此独立,因此

 P(F1F2...Fn|C)P(C) = P(F1|C)P(F2|C) ... P(Fn|C)P(C)

上式等号右边的每一项,都可以从统计资料中得到,由此就可以计算出每个类别对应的概率,从而找出最大概率的那个类。

虽然”所有特征彼此独立”这个假设,在现实中不太可能成立,但是它可以大大简化计算,而且有研究表明对分类结果的准确性影响不大。

 

(3)拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)

 也就是参数为1时的贝叶斯估计,当某个分量在总样本某个分类中(观察样本库/训练集)从没出现过,会导致整个实例的计算结果为0。为了解决这个问题,使用拉普拉斯平滑/加1平滑进行处理。

它的思想非常简单,就是对先验概率的分子(划分的计数)加1,分母加上类别数;对条件概率分子加1,分母加上对应特征的可能取值数量。这样在解决零概率问题的同时,也保证了概率和依然为1。

 eg:假设在文本分类中,有3个类,C1、C2、C3,在指定的训练样本中,某个词语F1,在各个类中观测计数分别为=0,990,10,即概率为P(F1/C1)=0,P(F1/C2)=0.99,P(F1/C3)=0.01,对这三个量使用拉普拉斯平滑的计算方法如下:

1/1003 = 0.001,991/1003=0.988,11/1003=0.011

3. 实际应用场景

 文本分类

垃圾邮件过滤

病人分类

拼写检查

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二, 条件概率

1.  条件概率公式

        设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为:

                     P(A|B)=P(AB)/P(B)

         1.由条件概率公式得:

                       P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

             上式即为乘法公式;

         2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥2,当P(A1A2...An-1) > 0 时,有:

                 P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

2. 基本思想

  • 条件概率又称后验概率):事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B),读作“在B条件下A的概率”,。

  接着,考虑一个问题:P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

  • 首先,事件B发生之前,我们对事件A的发生有一个基本的概率判断,称为A的先验概率,用P(A)表示;
  • 其次,事件B发生之后,我们对事件A的发生概率重新评估,称为A的后验概率,用P(A|B)表示;
  • 类似的,事件A发生之前,我们对事件B的发生有一个基本的概率判断,称为B的先验概率,用P(B)表示;
  • 同样,事件A发生之后,我们对事件B的发生概率重新评估,称为B的后验概率,用P(B|A)表示。

      贝叶斯定理便是基于下述贝叶斯公式:

P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

上述公式的推导其实非常简单,就是从条件概率推出。

 根据条件概率的定义,在事件B发生的条件下事件A发生的概率是

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

同样地,在事件A发生的条件下事件B发生的概率

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)

整理与合并上述两个方程式,便可以得到:

P(A|B)P(B)=P(A∩B)=P(B|A)P(A)

    接着,上式两边同除以P(B),若P(B)是非零的,我们便可以得到贝叶斯定理的公式表达式:

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

我们把P(A)称为"先验概率"(Prior probability),即在B事件发生之前,我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"(Posterior probability),即在B事件发生之后,我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"(Likelyhood),这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。

所以,条件概率可以理解成下面的式子:

后验概率 = 先验概率 x 调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率",然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率",由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里,如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1,意味着"先验概率"被增强,事件A的发生的可能性变大;如果"可能性函数"=1,意味着B事件无助于判断事件A的可能性;如果"可能性函数"<1,意味着"先验概率"被削弱,事件A的可能性变小。

 贝叶斯定理应用示例:

已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病,它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下,它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下,它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性,请问他确实得病的可能性有多大?

假定A事件表示得病,那么P(A)为0.001。这就是"先验概率",即没有做试验之前,我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性,那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率",即做了试验以后,对发病率的估计。

根据条件概率公式,

 

用全概率公式改写分母,

 

 

将数字代入,

 

我们得到了一个惊人的结果,P(A|B)约等于0.019。也就是说,即使检验呈现阳性,病人得病的概率,也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性",即阳性结果完全不足以说明病人得病。

或许换成这个公式 P(A|B)=P(A∩B)/B,看起来更加直白写:

阐释:

如果没有误报,那么得病率:.001*.99

如果是误报,那么得病率为:.05*(1-.0001),

所以:

p(A|B)=.001*.99/[.99*.001+.05*(1-.0001)]=.019

为什么会这样?为什么这种检验的准确率高达99%,但是可信度却不到2%?答案是与它的误报率太高有关。

三 全概率公式

 1. 如果事件组B1B2.... 满足

               1.B1B2....两两互斥,即 B∩ B= i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)>0,i=1,2,....;

               2.B1B2....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

          设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,A为任一事件,则:

       上式即为全概率公式(formula of total probability)

       2.全概率公式的意义在于,当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi)  (i=1,2,...)的计算较为简单时,可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是,将事件A分解成几个小事件,通过求小事件的概率,然后相加从而求得事件A的概率,而将事件A进行分割的时候,不是直接对A进行分割,而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分,即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi),由加法公式得

         P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

               =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

        3.实例:某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产,各台机床次品率分别为5%,4%,2%,它们各自的产品分别占总量的25%,35%,40%,将它们的产品混在一起,求任取一个产品是次品的概率。

                解:设.....     P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

      4.简单举例

一个别人举的例子: 
一个村子与三个小偷,小偷偷村子的事件两两互斥,求村子被偷的概率。

解释:假设这三个小偷编号为A1,A2,A2; 
偷东西的事件标记为B,不偷的话标记为:B¯¯¯

那么被偷的概率就是:要么是A1,要么是A2,要么是A3, 
如果是A1, 概率是什么呢?首先得是A1,其次是村子被偷,也即是两个事件都满足,所以是P(A1B) 
同理,可以得到P(A2B),P(A3B)

又因这三个小偷两两互斥,表示不会同时去偷。所以被偷的概率是:

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)

当然按照条件概率或者乘法公式展开: 
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) (*)

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的

问:是不是有想展开为:

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的冲动?

posted @ 2018-11-17 23:55  zzlp  阅读(271)  评论(0编辑  收藏  举报