笔记（一）时间复杂度

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• 时间复杂度的计算

　　　(1)得出运行时间的函数                              

　　　(2)对函数进行简化  :

                 ①用常数1来取代所有加法常数 

• • ②修改后的函数中，只保留最高阶项           

    ③如果最高阶项存在且不是1，则忽略这个项的系数   

• 时间复杂度大小关系

　　　O(1) < O(log n) < O(n) < O(nlog n) < O(n^2) < O(n ^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

 　　 写程序的时候一定对自己的程序的时间和空间复杂度有所了解。

 

• 递归分析时间复杂度

　　对递归画出一个递归树

　　如个Fibonacci数列求n项和 f(n)=f(n-1) + f(n-2)   fib:0 1 1 2 3 5 8 13 21 ...

　　直接递归求和：

int fib(int n)
{
     if(n < 2)
          return n;
     return fib(n-1) + fib(n-2);         
 
}

 

 求第6个数的fib和，会计算2^6次，呈指数型，时间复杂度为o(2^n) 是相当耗时的

可以增加一个缓存 将已经计算过的数据保存。不要重复计算。

通过go语言来算一下时间：

package main
import (
	"fmt"
	"time"
)

func fib(n int)int{
	if (n < 2) {
	　　return n
	}
　
　　　　  return fib(n - 1) + fib(n - 2)
}

func main(){
	start := time.Now()
	fmt.Println(fib(40))
	end := time.Since(start)
	fmt.Println("run time:", end)
}

 当n = 40时，运行时间为 575.960922 ms

 当n = 46时，运行时间为10.158493262 s

 可以看出随着n的增加，程序的运行时间增加的很多。

 

一般在递归的情形下有这么四种在面试和工程中使用到：

1、二分查找，一般发生在一个数列本身有序的时候，你要在有序的数列里找到你的目标数。只查一边这么下去的话，最后他的时间复杂度是log(n)。

2、如果是二叉树遍历的话，他的时间复杂度是O（n）。不通过主定理，简化的思考方式，二叉树遍历的话，我们会每一个节点都访问一次，而且仅访问一次。

3、在一个排好序的二维矩阵中进行二分查找。时间复杂度是O（n）,如果是一维数组二分查找，时间复杂度是O(logn)

4、归并排序（merge sort），时间复杂度是nlogn的时间复杂度。

 

思考：

 1、手写二叉树遍历-前、中、后序，并分析时间复杂度。

答：O(n)， 这里的n代表二叉树里边的树的节点总数。通过主定理得到；或者这么说不管是前序中序后续，二叉树里边的每个节点会访问一次且仅访问一次，所以它的时间复杂度线性于二叉树的节点总数，因此是O（n）

2、图的遍历：时间复杂度是多少？         答：O（n），这里的n的话是图里所有的节点总数。

3、搜索算法：DFS、BFS的时间复杂度？ 答：不管是DFS(深度优先)、BFS（广度优先），时间复杂度都是O（n），这里的N指的就是搜索空间里边的节点总数。

4、二分查找：时间复杂度是多少？          答：log(n)