博弈

概念

P状态：走到这一状态的人会赢。
N状态：从这一状态离开的人会赢

看个例题理解一下

这道题的取法如下图：

可以观察到NP态的性质：
至少能走到一个P态的状态是N态
下一步只能走到N态的状态是P态

步骤

1. 确定NP态
2. 打表
3. 证明NP态是否正确（检测特殊情况）

一些特殊的博弈

Nim博弈

正常Nim博弈

这个题就是最简单的nim博弈

P态当且仅当所有数字的异或值为0
N态当且仅当异或值大于0

因为N态异或值大于0那总能找到一个值减去使得异或值全为0，但处在P态时无论减去多少都会变成N态，因为至少会有一位的异或值发生改变

不平等博弈

双方博弈规则不同，即双方NP态不相同

SG函数

这个函数用于有向无环图

运用这一运算可以算出每个点的函数值

SG函数与PN态的关系：
当函数值为0时为P态
其他值为N态

组合游戏

多个局面组合在一起时的SG函数值等于每个局面SG函数的异或和

分裂游戏

这类游戏要将一堆分裂开那么其实每一堆都可以变成任意两堆值比它本身小的石子堆的情况的组合，它的SG值就是这些情况的mex值

隐藏nim游戏