P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子

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P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子

[ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子

题目描述

现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼",话说灰太狼抓羊不到,但抓兔子还是比较在行的,而且现在的兔子还比较笨,它们只有两个窝,现在你做为狼王,面对下面这样一个网格的地形:

image

左上角点为 \((1,1)\), 右下角点为 \((N,M)\) (上图中 \(N=3\), \(M=4\)).有以下三种类型的道路:

  1. \((x,y)\rightleftharpoons(x+1,y)\)

  2. \((x,y)\rightleftharpoons(x,y+1)\)

  3. \((x,y)\rightleftharpoons(x+1,y+1)\)

道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数,道路是无向的。左上角和右下角为兔子的两个窝,开始时所有的兔子都聚集在左上角 \((1,1)\) 的窝里,现在它们要跑到右下角 \((N,M)\) 的窝中去,狼王开始伏击这些兔子。当然为了保险起见,如果一条道路上最多通过的兔子数为 \(K\),狼王需要安排同样数量的 \(K\) 只狼,才能完全封锁这条道路,你需要帮助狼王安排一个伏击方案,使得在将兔子一网打尽的前提下,参与的狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦。

输入格式

第一行两个整数 \(N,M\),表示网格的大小。

接下来分三部分。

第一部分共 \(N\) 行,每行 \(M-1\) 个数,表示横向道路的权值。

第二部分共 \(N-1\) 行,每行 \(M\) 个数,表示纵向道路的权值。

第三部分共 \(N-1\) 行,每行 \(M-1\) 个数,表示斜向道路的权值。

输出格式

输出一个整数,表示参与伏击的狼的最小数量。

样例 #1

样例输入 #1

3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6

样例输出 #1

14

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点,保证 \(3 \leq N,M \leq 1000\),所有道路的权值均为不超过 \(10^6\) 的正整数。

解题思路

最小割

这题不难发现本质上其实就是在找最小割,因为所有的点,都可以分为两个集合 \((1,1)\)\((n,m)\) 属于两个不同的集合,兔子一定要从属于 \(s\) 的集合走向属于 \(t\) 的集合,即都要通过两个集合中形成的边,即对应流网络中的割边,要求最小值,即对应最小割,本题 dinic 勉强过了

  • 时间复杂度:\(O(n^2m)\)

最小割转平面图最短路

但还是不够优秀,可以发现这样的图是平面图(即从平面上来看,两条边相交的只能是已经存在的顶点,即一条边跨越另外一条边不行)
有一个重要的结论:\(平面图最小割=平面图的对偶图的最短路\)

\(\color{red}{对偶图是什么?}\)
以下是一个平面图转化为对偶图的过程:
image

如果现在要求 \(1\)\(6\) 的最小割该如何转化为对偶图的最短路问题?建立对偶图后,即以 \(1\)\(3\) 之间的边为例,这时该边上的面表示的点向该边下的面表示的点连边,边权为 \(1\)\(3\) 的边权,不难发现:这样的割边可以对应上最短路的某条边,以 \(1-3-5-6\) 这部分的边的下面的平面看作起点 \(s\)\(1-2-4-5\) 这部分的边的上面的平面看作终点 \(t\),建立完对偶图后,求从 \(s\)\(t\) 的最短路即为 \(1\)\(6\) 的最小割

回到本题
image
同理,要求解 \((1,1)\)\((n,m)\) 的最小割,建立对偶图,左下部分的平面看作起点 \(s\),右上部分的平面看作终点 \(t\),建立对偶图时,\(s\) 要通过左下边界的边和对应的平面连边,\(t\) 要通过右上边界的边和对应的平面连边
还有一个常见的难点:\(\color{red}{如何建立对偶图?}\)
对于一个这样的图,很容易如下编号:
image

即对于一个点 \((i,j)\),其作为小矩形的左上角,通过这个点即可判断区域,即:
image
红色区域表示的点为 \(2\times (i-1)\times (m-1)+2\times (j-1)+2\),同理可得到另外一块区域为 \(2\times (i-1)\times (m-1)+2\times (j-1)+1\),这样标号即可解决问题,求 \(s\)\(t\) 的最短路即为答案

  • 时间复杂度:\(O(nlogn)\)

代码

  • dinic
// Problem: P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4001
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1000005,M=N*6,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],f[M],e[M],ne[M],idx;
int d[N],q[N],hh,tt,cur[N];
void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=c,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
int get(int x,int y)
{
	return x*m+y;
}
bool bfs()
{
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[S]=hh=tt=0;
    q[0]=S;
    cur[S]=h[S];
    while(hh<=tt)
    {
        int x=q[hh++];
        for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
        {
            int y=e[i];
            if(d[y]==-1&&f[i])
            {
                d[y]=d[x]+1;
                cur[y]=h[y];
                if(y==T)return true;
                q[++tt]=y;
            }
        }
    }
    return false;
}
int dfs(int x,int limit)
{
    if(x==T)return limit;
    int flow=0;
    for(int i=cur[x];~i&&flow<limit;i=ne[i])
    {
        cur[x]=i;
        int y=e[i];
        if(d[y]==d[x]+1&&f[i])
        {
            int t=dfs(y,min(f[i],limit-flow));
            if(!t)d[y]=-1;
            f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
        }
    }
    return flow;
}
int dinic()
{
    int res=0,flow;
    while(bfs())while(flow=dfs(S,inf))res+=flow;
    return res;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<m;j++)
    	{
    		scanf("%d",&x);
    		add(get(i,j),get(i,j+1),x);
    	}
    for(int i=1;i<n;i++)
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		scanf("%d",&x);
    		add(get(i,j),get(i+1,j),x);
    	}
    for(int i=1;i<n;i++)
    	for(int j=1;j<m;j++)
    	{
    		scanf("%d",&x);
    		add(get(i,j),get(i+1,j+1),x);
    	}
    S=get(1,1),T=get(n,m);
    printf("%d",dinic());
    return 0;
}
  • 平面图最短路
// Problem: P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4001
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=2000005,M=N*3;
int n,m;
int h[N],ne[M],e[M],w[M],idx;
int d[N],S,T;
void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,w[idx]=c,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
void dijkstra()
{
	memset(d,0x3f,sizeof d);
	d[S]=0;
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;
	q.push({0,S});
	while(q.size())
	{
		auto t=q.top();
		q.pop();
		int x=t.se,v=t.fi;
		if(x==T)return ;
		if(d[x]==v)
			for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
			{
				int y=e[i];
				if(d[y]>d[x]+w[i])
				{
					d[y]=d[x]+w[i];
					q.push({d[y],y});
				}	
			}
	}
}
int get(int x,int y,int t)
{
	return 2*(x-1)*(m-1)+2*(y-1)+t;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    T=2*(n-1)*(m-1)+1;
    int x;
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
    	scanf("%d",&x);
    	add(get(1,i,2),T,x);
    }
    for(int i=2;i<n;i++)
    	for(int j=1;j<m;j++)
    	{
    		scanf("%d",&x);
    		add(get(i-1,j,1),get(i,j,2),x);
    	}
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
    	scanf("%d",&x);
    	add(S,get(n-1,i,1),x);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
    	scanf("%d",&x);
    	add(S,get(i,1,1),x);
    	for(int j=2;j<m;j++)
    	{
    		scanf("%d",&x);
    		add(get(i,j-1,2),get(i,j,1),x);
    	}
    	scanf("%d",&x);
    	add(get(i,m-1,2),T,x);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    	for(int j=1;j<m;j++)
    	{
    		scanf("%d",&x);
    		add(get(i,j,1),get(i,j,2),x);
    	}
    dijkstra();
    printf("%d",d[T]);
    return 0;
}
posted @ 2022-12-05 20:57  zyy2001  阅读(76)  评论(0编辑  收藏  举报