2194. 负载平衡问题

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2194. 负载平衡问题

\(G\) 公司有 \(n\) 个沿铁路运输线环形排列的仓库，每个仓库存储的货物数量不等。

如何用最少搬运量可以使 \(n\) 个仓库的库存数量相同。

搬运货物时，只能在相邻的仓库之间搬运。

数据保证一定有解。

输入格式

第 \(1\) 行中有 \(1\) 个正整数 \(n\)，表示有 \(n\) 个仓库。

第 \(2\) 行中有 \(n\) 个正整数，表示 \(n\) 个仓库的库存量。

输出格式

输出最少搬运量。

数据范围

\(1 \le n \le 100\),
每个仓库的库存量不超过 \(100\)。

输入样例：

5
17 9 14 16 4

输出样例：

11

解题思路

费用流

本题类似于 2192. 运输问题（即将超出平均值的点当作仓库，少于平均值的点当作商店）
建图：求出平均值 \(x\)，建立源点 \(s\) 和汇点 \(t\)，对于超出平均值的部分的点，\(s\) 向其连边，容量为超出平均值的部分，费用为 \(0\)，另外其需要向相邻两点连边，容量足够大，费用为 \(1\)，所有少于平均值的部分的点向 \(t\) 连边，容量为少于平均值的部分，费用为 \(0\)，不难发现：可行流与实际问题一一对应，满流时即所有数都变为平均值的时候，且达到最大流时费用最少即移动的代价最少

• 时间复杂度：\((knf)\)

贪心

本题同 122. 糖果传递

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

• 费用流

// Problem: 负载平衡问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2196/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=105,M=N*6,inf=1e9;
int n,a[N],S,T;
int h[N],e[M],w[M],f[M],ne[M],idx;
int incf[N],d[N],pre[N],q[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
	memset(d,0x3f,sizeof d);
	memset(incf,0,sizeof incf);
	d[S]=0,incf[S]=inf,q[0]=S;
	int hh=0,tt=1;
	while(hh!=tt)
	{
		int x=q[hh++];
		if(hh==N)hh=0;
		st[x]=false;
		for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
		{
			int y=e[i];
			if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
			{
				d[y]=d[x]+w[i];
				pre[y]=i;
				incf[y]=min(incf[x],f[i]);
				if(!st[y])
				{
					q[tt++]=y;
					if(tt==N)tt=0;
					st[y]=true;
				}
			}
		}
	}
	return incf[T]>0;
}
int EK()
{
	int cost=0;
	while(spfa())
	{
		int t=incf[T];
		cost+=t*d[T];
		for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])f[pre[i]]-=t,f[pre[i]^1]+=t;
	}
	return cost;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d",&n);
    int s=0;
    S=0,T=n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%d",&a[i]);
    	s+=a[i];
    }
    s/=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	if(a[i]>s)add(S,i,a[i]-s,0);
    	else if(a[i]<s)add(i,T,s-a[i],0);
    	add(i,i<n?i+1:1,inf,1);
    	add(i,i>1?i-1:n,inf,1);
    }
    printf("%d",EK());
    return 0;
}

• 贪心

// Problem: 负载平衡问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2196/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=105;
int n,a[N],b[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int s=0,avg=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%d",&a[i]);
    	s+=a[i];
    }
    avg=s/n;
    for(int i=2;i<=n;i++)b[i]=b[i-1]+a[i]-avg;
	nth_element(b+1,b+(n+1)/2,b+1+n);
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		res+=abs(b[i]-b[(n+1)/2]);
	printf("%d",res);
    return 0;
}