【BZOJ4059】Non-boring sequences（分析时间复杂度）

题目：

BZOJ4059

分析：

想了半天没什么想法，百度到一个神仙做法……

设原数列为 \(a\)，对于每一个 \(i\) 求出前一个和后一个和 \(a_i\) 相等的位置 \(pre[i]\) 和 \(nxt[i]\) （如果不存在则分别为 \(-1\) 和 \(n+1\) ）。那么如果在一个区间 \([l, r]\) 中存在一个 \(i\) 满足 \(pre[i]<l\) 且 \(nxt[i]>r\) ，说明 \(i\) 在 \([l, r]\) 中只出现了一次，那么任意一个跨越 \(i\) 的 \([l, r]\) 的子区间都是不无聊的，只需要再判断 \([l, i)\) 和 \((i, r]\) 中是否存在这样的 \(i\) 即可。

\(i\) 从两边往中间暴力找（绝对不能从左往右暴力扫一遍！！，那样复杂度就高了），复杂度是 \(O(n\log n) \)没想到吧！。

下面来证明（感性理解）一下这个神奇的复杂度。正着想比较麻烦，我们倒过来。把递归调用的树画出来（很显然是个二叉树），然后从下往上看，把分治倒过来变成向上合并。每次合并是一个长为 \(l_1\) 的区间和一个长为 \(l_2\) 的区间合起来变成一个长为 \(l_1+l_2+1\) 的区间。而这次合并所花的时间是从两端点暴力找 \(i\) 的时间，即 \(min(l_1, l_2)\) （当然还要乘个 \(2\) 之类，但那不影响复杂度）。这个过程是不是很像启发式合并？于是时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码：

思路清晰，解法自然

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

namespace zyt
{
	template<typename T>
	inline bool read(T &x)
	{
		char c;
		bool f = false;
		x = 0;
		do
			c = getchar();
		while (c != EOF && c != '-' && !isdigit(c));
		if (c == EOF)
			return false;
		if (c == '-')
			f = true, c = getchar();
		do
			x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		while (isdigit(c));
		if (f)
			x = -x;
		return true;
	}
	template<typename T>
	inline void write(T x)
	{
		static char buf[20];
		char *pos = buf;
		if (x < 0)
			putchar('-');
		do
			*pos++ = x % 10 + '0';
		while (x /= 10);
		while (pos > buf)
			putchar(*--pos);
	}
	inline void write(const char *const s)
	{
		printf("%s", s);
	}
	const int N = 2e5 + 10;
	int T, n, arr[N], tmp[N], last[N], nxt[N], pre[N];
	bool check(const int l, const int r)
	{
		if (l > r)
			return true;
		int tmpl = l, tmpr = r;
		for (int i = 0; i < (r - l + 1); i++)
			if (i & 1)
			{
				if (pre[tmpl] < l && nxt[tmpr] > r)
					return check(l, tmpl - 1) && check(tmpl + 1, r);
				++tmpl;
			}
			else
			{
				if (pre[tmpr] < l && nxt[tmpr] > r)
					return check(l, tmpr - 1) && check(tmpr + 1, r);
				--tmpr;
			}
		return false;
	}
	int work()
	{
		read(T);
		while (T--)
		{
			read(n);
			for (int i = 0; i < n; i++)
				read(arr[i]), tmp[i] = arr[i];
			sort(tmp, tmp + n);
			int cnt = unique(tmp, tmp + n) - tmp;
			for (int i = 0; i < n; i++)
				arr[i] = lower_bound(tmp, tmp + cnt, arr[i]) - tmp;
			memset(last, -1, sizeof(int[cnt]));
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				if (~last[arr[i]])
					nxt[last[arr[i]]] = i;
				pre[i] = last[arr[i]];
				last[arr[i]] = i;
			}
			for (int i = 0; i < cnt; i++)
				nxt[last[i]] = n + 1;
			if (check(0, n - 1))
				write("non-boring\n");
			else
				write("boring\n");
		}
		return 0;
	}
}
int main()
{
	return zyt::work();
}