破圈法求解最小生成树c语言实现（已验证）
破圈法求解最小生成树c语言实现（已验证）
下面是算法伪代码，每一个算法都取一个图作为输入，并返回一个边集T。
对该算法，证明T是一棵最小生成树，或者证明T不是一棵最小生成树。此外，对于每个算法，无论它是否能计算出一棵最小生成树，都要给出其最有效的实现。
MAYBE-MST-A(G，w) Sort the edges into nonincreasing order of edge weights w T<-E For each edge e, taken in nonincreasing order by weight Do if T-{e} is a connected graph Then T<-T-e Return T
算法基本思想：
先将图G的边按照权的递减顺序排列后，依次检验每条边，在保持连通的情况下，每次删除最大权边，直到所有边都被遍历到无法删除任何一边（或余下n-1条边为止）。
证明：
生成树证明：
1、 如果给定连通图G没有回路，那么G本身就是一棵生成树
2、 如果G中只有一个回路，则删去G的回路上的一条边（不删除节点），则产生的图仍是连通的且没有回路，则得到的子图就是G的一棵生成树；
3、 如果G的回路不止一个，只要删去每一个回路上的一条边，知道G的子图是连通且没有回路且与图G有一样的结点集，那么这个子图就是一棵生成树。
4、 重复步骤3，则直到所有边都不能删除，由于删除判断条件，得到的子图就是一棵生成树。
MST证明：
若在某个回路C中有一条唯一的最长边，则T*中一定不含这条边，因为优先删除回路中最长的边。
若在某个边e的割集中有一条唯一一条最短边，则T*中一定含有这条边（The Cut Property：考虑图G中的一条边e。如果存在一个cut(A,B)，使得e是所有跨越该割的所有边中权重最小者，则e一定在G的MST中。
），且不含有其他边，因为一旦含有其他边就构成了回路（Lonely-Cut Corollary：如果边e是跨越了cut(A, B)的唯一一条边,则e不可能在任一圈中。）。
反向证明：假设T*中跨越cut（A,B）的边不只一条，则在算法结束之前一定会遍历到其中的成圈的边（Double-Crossing），根据权值选取方法和删除圈的一边仍为连通图的条件，一定会将权值较大的边删除，直到无环且剩下的唯一一条边是最短边。
算法变量：
a[n][n]:带权图的邻接矩阵,a[i][j]=w或a[i][j]=0；
max:标记当前找到的准备删去的边的权值；
p:标记找到的要删去的权值所在的行号；
q:标记找到的要删去的权值所在的列好；
am：标记找到的最大元素（am是为了保护权值大但不能删的边），如果a[i][j]不能删除，则可以让a[p][q]=am，a[q][p]=am来还原刚才删去的边；
I,j:二维数组的行号和列号
sm:图的边数，每删除一个边，sm就减1，当sm=n-1时，结束
wt：最小生成树的权值和
算法实现（c语言）
1 #include<stdio.h>
BY Yuanshuai Zheng,UESTC 2 #define n 5 3 int a[n][n]; 4 int flag,am,p,q; 5 INPUT() 6 { 7 int i,j; 8 printf("输入图的带权邻接矩阵：\n"); 9 for(i = 0;i<n;i++) 10 { 11 for(j=0;j<n;j++) 12 scanf("%d",&a[i][j]); 13 } 14 } 15 OUTPUT(int a[n][n]) 16 { 17 int i,j; 18 for(i=0;i<n;i++) 19 { 20 for(j=0;j<n;j++) 21 printf("%5d",a[i][j]); 22 printf("\n"); 23 } 24 } 25 MAX(int a1[n][n],int am1,int p1,int q1) 26 { 27 int i,j,ptm,qtm; 28 int max; 29 max = 0; 30 for(i=0;i<n;i++) 31 { 32 for(j=i;j<n;j++) 33 if((a1[i][j]>max)&&(a1[i][j]<=am1)&&((i!=p1)||(j!=q1))) 34 { 35 max = a1[i][j]; 36 ptm = i; 37 qtm = j; 38 39 } 40 } 41 am = max; 42 printf("max=%5d\t",am); 43 p = ptm; 44 q = qtm; 45 a[p][q]=0; 46 a[q][p]=0; 47 } 48 WSHALL(int array[n][n]) 49 { 50 int i,j,k,m=0; 51 int r[n][n],B[n][n]; 52 for(i=0;i<n;i++) 53 { 54 for(j=0;j<n;j++) 55 { 56 r[i][j]=0; 57 B[i][j]=array[i][j]; 58 //分界线 59 if(array[i][j]>=1) 60 B[i][j]=1; 61 else 62 B[i][j]=0; 63 //分界线 64 } 65 } 66 for(j=0;j<n;j++) 67 { 68 for(i=0;i<n;i++) 69 if(B[i][j]>=1) 70 { 71 for(k=0;k<n;k++) 72 { 73 if(B[k][i]>=1) 74 { 75 B[k][j]=B[j][k]=1; 76 } 77 } 78 } 79 } 80 for(i=0;i<n;i++) 81 { 82 for(j=0;j<n;j++) 83 if(!B[i][j]) 84 { 85 return 0; 86 } 87 } 88 return 1; 89 } 90 91 //方法1 92 // for(k=0;k<n;k++) 93 // B[i][j]=B[i][k]+B[j][k]; 94 // } 95 // } 96 // for(i=0;i<n;i++) 97 // { 98 // for(j=0;j<n;j++) 99 // { 100 // r[i][j]=B[i][j]; 101 // { 102 // if((r[i][j]>=1)||(i==j)) 103 // m=m+1; 104 // } 105 // } 106 // } 107 // printf("m=%d\t",m); 108 // if(m==n*n) 109 // flag = 1; 110 // else 111 // flag=0; 112 // return(flag); 113 114 int main() 115 { 116 int i,j,sm,wt=0; 117 am = 10000,p=-1,q=-1,sm=0; 118 INPUT(); 119 for(i=0;i<n;i++) 120 { 121 for(j=i;j<n;j++) 122 { 123 if(a[i][j]>0) 124 sm = sm+1; 125 } 126 } 127 printf("\nsm=%d\n",sm); 128 printf("输出图的带权邻接矩阵：\n"); 129 OUTPUT(a); 130 printf("\n"); 131 while(sm>n-1) 132 { 133 MAX(a,am,p,q); 134 flag=WSHALL(a);//华沙尔算法判断是否连通 135 //printf("flag= %d",flag); 136 { 137 if(flag==1) 138 { 139 sm=sm-1; 140 //printf("flag= %d",flag); 141 } 142 else 143 { 144 a[p][q]=am; 145 a[q][p]=am; 146 } 147 } 148 } 149 for(i=0;i<n;i++) 150 for(j=i;j<n;j++) 151 { 152 wt=wt+a[i][j]; 153 } 154 printf("\n\n输出最小生成树的带权邻接矩阵：\n"); 155 OUTPUT(a); 156 printf("最小生成树的树权是: %d\n",wt); 157 } 158
代码验证：
例子：
0
6
10
0
0
6
0
3
8
5
10
3
0
6
7
0
8
6
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5
7
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0
