电压或电流传感器的近似传递函数

在变换器控制与分析中，不少论文都考虑了电压或电流传感器的频率特性，这里给出一种基于90%上升时间\(T_{90\%}\)的传感器近似一阶传递函数的求取方法。

对于一个一阶系统：

\[y\left( s \right) =\frac{1}{Ts+1}\cdot x\left( s \right) \]

在阶跃激励下：

\[x\left( s \right) = \frac{1}{s} \]

有：

\[y\left( s \right) =\frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{1}{s} \]

将\(s\)替换为微分算子：

\[p=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \]

可得对应时域微分方程：

\[y\left( t \right) =\frac{1}{p^2T+p}\Rightarrow p^2Ty\left( t \right) +py\left( t \right) =1 \]

该方程的特征方程为：

\[T\lambda ^2+\lambda =0\Rightarrow \lambda _1=0,\lambda _2=-\frac{1}{T} \]

得：

\[y\left( t \right) =c_1+c_2e^{-\frac{t}{T}} \]

考虑到\(y \left( 0 \right) = 0\)，\(y \left( \infty \right) = 1\)，故系统输出为：

\[y\left( t \right) =1-e^{-\frac{t}{T}} \]

于是：

\[0.9=1-e^{-\frac{T_{90\%}}{T}} \]

得：

\[T=\frac{T_{90\%}}{\ln 10} \approx 0.4343T_{90\%} \]

故电压或电流传感器的近似一阶传递函数可写作：

\[G\left( s \right) \approx \frac{1}{0.4343T_{90\%}s+1} \]