最短路
最短路算法
最短路的分类
根据不同的需求选择不同的最短路算法
图论的算法考试的侧重点在建图和算法实现
所以证明并不是那么重要
朴素版dijkstra算法
基于贪心
算法实现：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
int n,m;
int g[N][N],dist[N];
bool st[N];
int dijkstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
for(int i=0;i<n;i++){
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))
t=j;
st[t]=true;
for(int j=1;j<=n;j++)
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
g[a][b]=min(g[a][b],c);
}
int t=dijkstra();
printf("%d\n",t);
return 0;
}
堆优化版dijkstra算法
在朴素版dijkstra中寻找距离当前点最近没确定最短距离的点的时候要循环n次
我们可以维护一个小根堆来查询距离最近的没确定最短距离的点
这样就可以将这一步转化为O(1)
如果时手写堆，支持删除任意元素，那么堆里面总共的元素个数只有n个
还可以用stl中的priority_queue，但这样堆中会有m个元素
这样原本的mlogn就会变为mlogm
但因为m<=n2，所以logm<=logn2，又因为logn^2=2logn，所以logm<=2logn
所以mlogm可以写成mlogn
算法实现：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=100010;
int n,m;
int dist[N];
// 堆优化版dijkstra由于稀疏图
// 所以要用邻接表来存
int h[N],e[N],ne[N],w[N],idx;
bool st[N];
void add(int a,int b,int c){
e[idx]=b,ne[idx]=h[a],w[idx]=c,h[a]=idx++;
}
int dijkstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
heap.push({0,1});
while(heap.size()){
auto t=heap.top();
heap.pop();
int distance=t.first,ver=t.second;
if(st[ver]) continue;
else st[ver]=true;
for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(dist[j]>distance+w[i]){
dist[j]=distance+w[i];
heap.push({dist[j],j});
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof h);
while(m--){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);
}
int t=dijkstra();
printf("%d\n",t);
return 0;
}
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法十分简单
时间复杂度：两层循环，O(nm)
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 510, M = 10010;
int n, m, k;
int dist[N], backup[N];
struct Edge
{
int a, b, w;
}edges[M];
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < k; i++)
{
memcpy(backup, dist, sizeof dist);
for (int j = 0; j < m; j++)
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = {a, b, w};
}
int t = bellman_ford();
if (t == -1) printf("impossible\n");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}
为什么bellman-ford算法模板中最后要这么判断
因为如果有两个点都是正无穷，但是他俩之间是一条负边，就有可能会更新
spfa算法
spfa算法是在Bellman-Ford算法上做了一个优化
Bellman-Ford算法每延申一步都要遍历所有边
但并不是每一个都会更新
只有上一个点更新，这个点才有可能更新
所以可以用一个队列来存更新过的点
每次取出一个对头，用它来更新它可更新的点
算法实现：
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int dist[N];
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
bool st[N];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
w[idx] = c;
h[a] = idx ++ ;
}
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
int t = spfa();
if (t == -1) printf("impossible\n");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}
spfa判负环
跑一遍spfa最短路记一个每一个点距离起点走过了多少边
算法实现：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int dist[N], cnt[N];
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
bool st[N];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
w[idx] = c;
h[a] = idx ++ ;
}
bool spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
q.push(i), st[i] = true;
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true;
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
int t=spfa();
if (t) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
return 0;
}
Floyd算法
Floyd算法基于动态简单的动态规划
状态转换方程：dist[i, j] = min(dist[i, j], dist[i, k] + dist[k, j])
算法实现：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 1e9;
int n, m, Q;
int d[N][N];
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
while (m -- )
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
d[a][b] = min(d[a][b], w);
}
floyd();
while (Q -- )
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
if (d[a][b] > INF / 2) printf("impossible\n");
else printf("%d\n", d[a][b]);
}
return 0;
}
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