前缀和与差分

前缀和与差分

前缀和和差分更像是一种思想

一维前缀和

一维前缀和的定义：s[i] = s[1] + s[2] + ... + s[i]

用处：快速算一段区间的和：s[l] + ... + s[r] = s[r] - s[l - 1]

二维前缀和

二位前缀和的定义

如图，前缀和数组中(x1, y1)的值是原数组红色矩阵中所有数的和

作用快速求一个子矩阵中所有数的和

初始化

如图，在前缀和数组中的(x, y)可以表示为：原数组(x, y) + 前缀和数组浅黄部分 + 前缀和数组深黄部分 - 前缀和数组橙色部分

若a为原数组，s为前缀和数组，则求前缀和的公式为：s[i][j] = a[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

求

左上角为(x1, y1)，右下角为(x2, y2)的子矩阵中所有数的和为：

s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

一维差分

差分是构造一个差分数组，使得差分数组的前缀和等于原数组

作用：快速给一段区间加上一个数，若差分数组为b，方式为：

void insert(int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

差分数组构造方式：

因为上述公式的作用是维护此区间是个差分数组，所以可以把构造看成在只有一个数的区间插入一个c

二维差分

二维差分是在左上角(x1, y1)，右下角(x2, y2)的子矩阵中同时加上一个数

二维差分的维护思想跟二维前缀和与一维差分类似

公式为：b[x1, y1] += c, b[x2 + 1, y1] -= c, b[x1, y2 + 1] -= c, b[x2 + 1, y2 + 1] += c;