408算法练习——买股票

买股票

一、问题描述

　　假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。
示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

0 <= 数组长度 <= 10^5

二、问题分析

　　要求之进行一次买卖，所以要找到差值最大的两个元素，而且要求小的元素在前，大的元素在后。

　　1、双指针法：通过两个指针遍历数组，遍历过程中固定最小值，然后另一个指针向后遍历时计算收益，最后找出收益最大的利润

　　2、动态规划：一个好理解的方法就是假设头天买入，次日就卖出，也就是说股票只保留一天，而且不管这次交易是否盈利，这样操作后，就得出了每天能挣到的利润（包括负利　润），因为题干要求只能进行一次买入和卖出，其实就是对每天的利润求最大子序和，也就是说，在存有每日利润的数组中，选出一个连续的子序，这个子序的和是最大的，这时候求出的结果就是最大收益。如果结果是负数，就取0。而求最大子序和的过程可以使用动态规划完成

　　代码

　　

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int A[maxn];
int main(){
    int n;//n表示元素个数 
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&A[i]);
    }
    //可就在原数组上进行修改，节省空间
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i<n-1){
            A[i] = A[i+1]-A[i];
        }
    }
    A[n-1] = 0;
    //计算A[]的最大子序和
    int res = 0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        A[i] = max(A[i-1]+A[i],A[i]); 
        if(A[i]>res){
            res = A[i];
        }
    }
    printf("%d",res);
    return 0;
}

 

 　　3、真正意义上的动态规划

　　首先是动态规划的数组，这里情况很特殊需要两个动态数组，第一个数组是dp0[i]表示第i天持有股票时的利润，第二个数组dp1[i]表示第i天不持有股票时的利润。

　　持有股票的两种情况，这支股票可能是今天买的也可能是昨天或前面某一天买入的。

　　不持有股票的两种情况，这支股票可能是今天卖出的，也可能是昨天或前面某一天就卖出了。

　　递推公式

　　dp0，持有股票，有两种情况，昨天就持有，那么值就是dp0[i-1]的值，今天才持有，那么值就应该是今天的股价；所以买入时股票价格要尽可能的低，然而买入股票是在花钱，所以利润就是负值，那么就要取大值，dp0[i]=max(dp0[i-1],-prise[i])

　　dp1，卖出股票，两种情况，昨天已经卖出，那么值就是dp1[i-1]的值，今天才卖出，那么值就是今天的股价加昨天的利润（即使是负值）；卖出时股票价格要尽可能高,所以方程为dp1[i]=max(dp1[i-1],dp0[i-1]+prise[i])

　　详细分析状态转移方程

　　首先明确dp1和dp0中的值都是期望利润，所以都是要取最大值max。

　　持有股票dp0，这个数组表示的是买入股票的花销，花销也归入利润中，那么利润就是负支出，要注意，原则是利润总取最大值，不论正负。为了总保持利润最大所以就存在某天买入股票后一直握在手里（后面几天股票涨价了）所以此时后面几天的利润都和前面某一天一致。注意这不是真正的买股票，这只是根据已知结果的一种推演，真正操作是不可能预知股票涨跌的，不要带入生活。

　　不持有股票dp1，这个数组表示如果第i天不持有股票，那么所能得到的最大利润，所以这个也是结果数组。两种情况，今天卖股票不如昨天卖，所以此时就取dp[i]=dp[i-1]。今天卖股票比昨天利润多，所以dp[i]=dp[i-1]+prise[i]。这里应该是最难理解的地方，其实只要这样想，因为是今天才卖股票，那么昨天必然持有股票，所以要用到昨天持有股票时的利润dp0[i-1]，今天卖出股票，所以今天的利润就是昨天的利润加今天的收入，就有dp[i]=dp[i-1]+prise[i]。

　　同理，针对每天不持有股票的情况有两种可能，股票已经卖出去了，股票今天才卖出去，这时对于昨天的利润就有不同的取值。这里必须理解，这样才能彻底理解整个动态规划的思想。

　　代码

#include <cstdio>
#include <algorithm> 
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int main(){
    int A[maxn],dp0[maxn],dp1[maxn];
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&A[i]);
    }
    dp0[0] = -A[0];//规划边界，第一天持有股票的利润就是第一天股价的负值 
    dp1[0] = 0;//第一天不能卖出所以第一天不持有股票的利润就是0 
    for(int i=1;i<n;i++){
        dp0[i] = max(dp0[i-1],-A[i]);
        dp1[i] = max(dp1[i-1],dp0[i-1]+A[i]);
    }
    printf("%d",dp1[n-1]);
    return 0;
}