算法提高——动态规划练习

最长不下降子序列

一、问题描述

　　现在给出一个数字序列（整数），要求找出它的一个最长不下降子序列，返回这个子序列的长度，即该数字中最长的非递减子序列，元素可以不是连续的，但要满足元素间的前后位置关系。

　　例如：序列A={1,2,2,-1,-2,7,9}，则A的最长不下降子序列为{1,2,2,7,9}

二、问题分析

　　穷举，找出数组的所有子序列对于四个元素的数组，所有可能的子序列有1+4+6+4 +1=C4⁰+C4¹……C4⁴。显然穷举法时间复杂度为2^n

　　分析穷举法可以发现，在穷举子序列的时候出现了重复的子序列，比如{1,2,3,4}这个数组的子序列中{1,2,3}中出现了子序列{1,2}，{1}，所以进行了重复遍历从而使得时间复杂度增加。

　　动态规划思想，在观察第n个元素时，可以先观察前n-1个元素的最长不下降子序列，然后在次基础上求n个元素的最长不下降子序列。所以，可以递推的求得一个最长不下降子序列，要求n个元素的先求n-1个元素的，为了方便理解以下举个例子来说明

　　假设序列{1,-2,4,6,3,15}，现在求该序列的最长不下降子序列，从头开始遍历写出遍历过程

　　遍历到1，该元素是第一个元素，1个元素的最长不下降子序列就是自己，标记长度1；

　　遍历到-2，该元素值小于前一个元素，所以不能构成不下降子序列{1,-2}的最长不下降子序列为{1},标记长度1

　　遍历到4，该元素值比1大，1的标记长度为1，该元素值比-2大，-2的标记长度为1，所以4的标记长度=max（1+1，1+1）

　　遍历到6，该元素值比1大，1的标记长度为1，该元素的值比-2大，-2的标记长度为1，该元素值比4大，4的标记长度为2，所以6的标记长度为max（1+1，1+1，2+1）

　　遍历到3，3>1,length1=1，3>-2,length-2=1，3<4，3<6，所以length3=max(1+1,1+1)

　　遍历到15，与上述同理

　　

三、算法分析

　　通过对问题的分析，已经有了初步的规划思路，当遍历到第i个元素时，让value(i)和前i-1个元素进行比较，如果i的value值更大则对i的标记长度作更新，如果i的value值小，那么就不作更新。具体的比较算法为：if A[i]>A[j],dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);else do nothing。

　　dp[i]记录的是以A[i]作为结尾元素的所有子序列中的最长不下降子序列的长度，这个必须理解，否则就无法理解动态规划算法。

　　而比较的过程，其实是在尝试把A[i]加入到{1……i-1}这个数组的子序列中，找出最长的非递减子序列，因为根据递推关系，{1……i-1}这个序列的最长子序列一定以该序列中的某一元素结尾，而A[i]如果比这个结尾元素大，那么就可以扩充最长子序列，而此时相当于把元素i加入了{1……i-1}中，并且把{1……i}这个序列的最长非递减子序列长度记录到了dp[i]中。

　　上面这段分析请读者结合具体例子自己分析，这样有助于理解。

四、代码

　　

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=100;
int A[N],dp[N];
int main(){
    int n;//n为元素个数 默认小于100，可令加判断 
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&A[i]); 
    }
    int ans = 0;//用作返回最大非递减子序的长度
    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[i]=1;//一个元素的最大非递减子序长度为1
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(A[i]>=A[j]){
                dp[i] = max(dp[j]+1,dp[i]);
            }
        }
        ans = max(ans,dp[i]); 
    } 
    printf("%d",ans);
    return 0;
}