FOC_坐标变换

对于坐标变换来说要遵循的原则是磁动势\(F_m\)变化前后不能改变。

1- Clark 变换

1.1- 等幅值变换

Clark 变换就是将三相静止坐标系变换成两相正交坐标系。在三相静止坐标系中，其中一相可以由另外两相表示，说明只有两个独立变量，那么三相静止坐标系完全可以由两向正交（独立）坐标系表示^[1]。

上图完成了等幅值变换的推导，在 MATLAB 中搭建模型验证。

观察结果图就能看到变化前后电流的幅值保持不变。
仔细观察示波器的图形，可以发现 \(I_alpha\) 和 \(I_a\) 的波形是重合的，那是不是可以说明可以直接使用 \(I_a\) 来代替变化后的 \(I_apha\)。下面进行推导：

那么这就是不是意味着在做 Clark 变换时就可以使用上图的公式，接下来使用 MATLAB 验证：

结果显而易见，二者是没有区别的。在实际计算中可以将 \(\frac{\sqrt(3)}{3}\) 换成小数。
在一般的资料中 clark 的变换矩阵还有一行，这是因为引入了零序分量。通常规定：

\[f_0 = \frac{f_a+f_b+f_c}{3} \]

所以完整的等幅值 Clark 变化矩阵为:

\[\frac{2}3{} \begin{vmatrix} 1& -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} &\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{2} }{2} &\frac{\sqrt{2} }{2} &\frac{\sqrt{2} }{2} \end{vmatrix} \]

1.2- 等功率变换

等功率变换顾名思义就是要保持变换前后的功率不变。首先需要明确的是上面推导出的 Clark 变化矩阵，虽然是从电流推导出来的，但是对于电压也是适用的。

2- Park 变换

略过，变换的思想借助线性代数里的旋转坐标变换。

2.1- 变换矩阵

\[\begin{vmatrix} cos\theta &sin\theta \\ -sin\theta&cos\theta \end{vmatrix} \]

2.2- 变换后的 dq 轴电流仍为交流电

出现这个问题并不是因为前文推导出的变化矩阵是错误的，而是 Simulink 的自身原因。
以三相电流为例，我们在仿真的时候为了模仿幅值相等，相位相差 120°的三相电流，对 Ib 的 SineWave 的相位差设置的是 \(\frac{2\pi}{3}\)，\(\alpha 和\beta\) 轴的夹角为正 90°，这样相当于是默认按照逆时针方向旋转。但是在 Simulink 中恰恰相反，默认按照顺时针方向旋转，那么 \(\alpha 和\beta\) 的夹角就位负 90°^[2]，所以 Ib 的相位差就应该是 \(-\frac{2\pi}{3}\)。Ic 的相位差也应该由负转正。其实除了在一开始的输入就做出调整外，还可以参照 这个视频改变参数。
虽然 dq 轴问题解决了，但是还有一个疑问，那么为啥 Clark 变换没有影响呢。其实也是有影响的，只不过 Clark 变换后的电流还是交流电，所以看不出来。
最后还有一点需要指明，这个问题仅限于 Simulink 仿真时会出现，在实际使用中不需要这样。

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1. 电机拖动自动控制系统--陈伯时 ↩︎

2. Simulink中DQ仍然是交流的原因及解决办法 ↩︎