莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

定义：

• 一个正整数\(d\)，由算术基本定理可得\(d=p_1^{c_1}*p_2^{c_2},...,p_m^{c_m}\)。

• 当\(d=1\)时，\(\mu(1)=1\)。

• 若\(d\)无平方数因数，且\(d=p_1,...,p_k\)，\(\mu(d)=(-1)^k\)。

  • 也就是当\(d\)的所有质因子各不相等时，若\(d\)有偶数个质因子时，\(\mu(d)=1\)；若有奇数个质因子时，\(\mu(d)=-1\)。

• 若\(d\)有大于\(1\)的平方数因数，\(\mu(d)=0\)。（也就是\(c_i\neq1\)）

• 举一下例子吧。

• \(d=1\)，因为\(d=1\)，所以\(\mu(d)=1\)。

• \(d=2\)，\(d=2=2\)，即有奇数个质因子，\(\mu(d)=-1\)。

• \(d=4\)，\(d=4=2^2\)，\(d\)有大于1的平方数因数，\(\mu(d)=0\)。

• \(d=6\)，\(d=2*3\)，即有偶数个质因子，\(\mu(d)=1\)。

性质：

• 莫比乌斯函数是一个积性函数。

• 积性函数：\(a,b\)互质，有\(f(ab)=f(a)*f(b)\)，称\(f\)为积性函数。

• 证明：分情况讨论一下就行。

求法：

• 如果只用求一项，那么直接质因数分解一下就行。
• 就像求欧拉函数可以用线性筛法求一样，莫比乌斯函数可以用线筛筛法求出。

void get_mu(int n)
{
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            primes[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; primes[j] <= n/i; j++)
        {
            vis[primes[j]*i] = 1;
            if(i % primes[j] == 0) break;
            else mu[i*primes[j]] = -mu[i];
        }
    }
}