CF954D Fight Against Traffic题解

题解

1.题目大意

给定一个无向图，所有边权都为1
给定一个起点 \(s\) 和 终点 \(t\)
求满足以下条件数对(u,v)的数量：

• 1.图中不存在(u,v)这条边
• 2.若在图中加入(u,v)这条边，\(s\) 到 \(t\) 的距离不变

2.思路

考虑加入(u,v)后改变了什么
首先如果加入(u,v)后会改变 \(s\) 到 \(t\) 的距离
那么说明新的最短路一定经过(u,v)

所以现在我们只需要计算一个东西：
\(s\) 到 \(t\) 一定要经过(u,v)的路径的长度

如果这个长度小于本来 \(s\) 到 \(t\) 的距离，
那么加入(u,v)后会让距离变小
否则，不变

那么怎么计算这个路径的长度呢？
我们发现这条路径可以拆成三个部分：

• 从 \(s\) 到 \(u\) 的最短路径
• 从 \(u\) 到 \(v\) 的最短路径（长度就是1）
• 从 \(v\) 到 \(t\) 的最短路径
  这很好做，直接bfs预处理 \(s\) 到所有点的最短距离和所有点到 \(t\) 的最短距离

于是我们就做完了

总结一下：

• 1.bfs计算 \(s\) 到所有点的最短距离和所有点到 \(t\) 的最短距离
• 2.枚举(u,v)，计算\(s\) 到 \(t\) 一定要经过(u,v)的路径的长度 \(l\) ，统计满足 \(l<s到t的距离\) 的(u,v)个数

3.Code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int s,t,n,m,dis1[200010],dis2[200010],ji[1010][1010];
vector<int>e[200010];
main(){
    cin>>n>>m>>s>>t;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
        ji[u][v]=ji[v][u]=1;
    }
    queue<int>q;
    q.push(s);
    memset(dis1,0x3f,sizeof dis1);
    dis1[s]=0;
    while(q.size()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(auto v:e[u]){
            if(dis1[v]>dis1[u]+1){
                dis1[v]=dis1[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    q.push(t);
    memset(dis2,0x3f,sizeof dis2);
    dis2[t]=0;
    while(q.size()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(auto v:e[u]){
            if(dis2[v]>dis2[u]+1){
                dis2[v]=dis2[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }int ans=0;
    //cout<<dis1[t]<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(dis1[i]+dis2[j]+1>=dis1[t] and dis2[i]+dis1[j]+1>=dis1[t] and !ji[i][j])ans++;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}