luogu P1029 最大公约数和最小公倍数问题

P1029 最大公约数和最小公倍数问题

直通

首先你要知道一点：

若A×B代表二者的乘积，也就是二者最大的乘积，

如果用A×B除以二者的最小公倍数，就能得到了二者的最大公约数

当然前提是这两个数要是非零的两个整数

最大公约数=A×B/最小公倍数

反过来，最小公倍数=A×B/最大公约数

那么这道题就很简单地做出来了：

方法一：枚举

①

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

int gcd(int a,int b)//求最大公约数 
{
    while(b!=0)//辗转相除法求最大公约数 
    {
      int qwq=a%b;
      a=b;
      b=qwq;
    }
    return a;
    //return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}

int main()
{
    int x,y;
    cin>>x>>y;//输入最大公约数以及最小公倍数 
    int v=x*y;//最大值 
    int s=(int)sqrt(v);//不用重复进行寻找 
    int n=0;
    for(int i=x;i<=s;i++)
        if((v%i==0)//如果最大值能够整除当前的数，则说明找到了一组可能是真的的解 
            &&(gcd(v/i,i)==x))//如果另外一个数与当前的数的最大公约数等于输入的最大公约数 
            n++;//进行计数
    cout<<n*2;// 不进行重复的筛之后要加上另一块的 
    return 0;  
}

②

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;

LL gcd(LL a,LL b) {
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

int main() {
    LL Gcd,Lcm,ans=0;
    cin>>Gcd>>Lcm;
    LL Max=Gcd*Lcm;
    for(int i=Gcd; i<=Lcm; i++)
        for(int j=Gcd; j<=Lcm; j++) {
            if(i*j>Max) continue;
            if(gcd(i,j)!=Gcd) continue;
            if(i*j==Max) ans++;
        }
    cout<<ans;
    return 0;
}

---

方法二：分解质因数（最优）

思路：

题目要求最大公约数（gcd）为3，最小公倍数（lcm）为60的两个数p、q的组数，两个数都去掉gcd后，即样例中的3、60变为1、20。

这样即可变为求gcd为1，lcm为20的两个数p、q的组数，即找两个互质的数，他们的乘积为20。

那么可以对20进行质因数分解，得：2、2、5。

盯住其中一个数，从质因数中选择。由于两个数要求互质，所以相同的质因数要合并，得到：4、5。

选法有2^2=4种：1，4，5，20。对应的四组答案即：1-20，4-5，5-4，20-1。

乘以gcd得到原来题目答案：3-60，12-15，15-12，60-3。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int main() {
    int x,y,z,k=0,i;//k为不同质因数的个数
    scanf("%d%d",&x,&y);
    if(y%x!=0) printf("%d\n",0);
    else {
        z=y/x;//除以最大公约数x
        for(i=2; i<=z; ++i) { //质因数分解
            if(z%i==0) {
                ++k;
                while(z%i==0)z=z/i;//合并相同的质因数
            }
        }
        printf("%d\n",int(pow(2,k)));
    }
    return 0;
}