一个可以AK IOI的算法

暴力

很多问题都可以“暴力求解”，不用动太大脑筋，把所有可能性都列举出来，然后一一试验。虽然暴力求解法不用动太大大脑筋，但要注意时间复杂磁。因此，对问题一定的分析往往会让算法更加简洁高效。

例题

 

试题描述

输入正整数n,按从小到大顺序输出所有形如 abcde / fghij = n 的表达式,其中a - j恰好为数字0-9的一个排列(可以有前导0)2<=n <=79

 

输入

n

输出

abcde / fghij = n的表达式

输入示例

62

输出示例

79546 / 01283 = 62

94736 / 01528 = 62

分析：枚举0 -9 所有 排列? 没必要,我们只需要枚举fghij 就可以算出abcde,然后判断所有数字都不相同即可。代码如下。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
  int n, kase = 0; 
  char buf[99];
  while(scanf("%d", &n) == 1 && n) {
    int cnt = 0;
    if(kase++) printf("\n");
    for(int fghij = 1234; ; fghij++) {
      int abcde = fghij * n;//题目规则 
      sprintf(buf, "%05d%05d", abcde, fghij);//格式化 
      if(strlen(buf) > 10) break;//长度超过10不符合 
      sort(buf, buf+10);//按顺序排列10个数字 
      bool ok = true;
      for(int i = 0; i < 10; i++)//判断是否都不相同
        if(buf[i] != '0' + i) ok = false;
      if(ok) {
        cnt++;
        printf("%05d / %05d = %d\n", abcde, fghij, n);
      }
    }
    if(!cnt) printf("There are no solutions for %d.\n", n);
  }
  return 0;
}

 再来一道NOIP2016普及组第四题。

试题描述

六十年一次的魔法战争就要开始了，大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。

大魔法师有m个魔法物品，编号分别为1,2,...,m。每个物品具有一个魔法值，我们用Xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值Xi是不超过n的正整数，可能有多个物品的魔法值相同。

大魔法师认为，当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa<xb<xc<xd，Xb-Xa=2(Xd-Xc)，并且xb-xa<(xc-xb)/3时，这四个魔法物品形成了一个魔法阵，他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品，B物品，C物品，D物品。

现在，大魔法师想要知道，对于每个魔法物品，作为某个魔法阵的A物品出现的次数，作为B物品的次数，作为C物品的次数，和作为D物品的次数。

测试数据范围：

输入

输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。

接下来m行，每行一个正整数，第i+1行的正整数表示Xi，即编号为i的物品的魔法值。

保证1≤n≤15000,1≤m≤40000,1≤xi≤n。每个Xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。

输出

共输出m行，每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作 为A,B,C,D物品分别出现的次数。

保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。

每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。

输入示例

【测试数据1】
30 8
1
24
7
28
5
29
26
24
【测试数据2】
15 15
1 
2 
3 
4 
5
6 
7 
8 
9
10
11
12
13
14
15

输出示例

【测试数据1】
4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0
【测试数据2】
5 0 0 0
4 0 0 0
3 5 0 0
2 4 0 0
1 3 0 0
0 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
0 0 3 2
0 0 4 3
0 0 5 4
0 0 0 5

其他说明

【样例解释1】

共有5个魔法阵，分别为：

物品1,3,7,6，其魔法值分别为1,7,26,29;

物品1,5,2,7，其魔法值分别为1,5,24,26;

物品1,5,7,4，其魔法值分别为1,5,26,28;

物品1,5,8,7，其魔法值分别为1,5,24,26;

物品5,3,4,6，其魔法值分别为5,7,28,29。

以物品5为例，它作为A物品出现了1次，作为B物品出现了3次，没有作为C物品或者D物品出现，所以这一行输出的四个数依次为1,3,0,0。

此外，如果我们将输出看作一个m行4列的矩阵，那么每一列上的m个数之和都应等于魔法阵的总数。所以，如果你的输出不满足这个性质，那么这个输出一定不正确。你可以通过这个性质在一定程度上检查你的输出的正确性。

【数据规模】见上

 分析:这道题如果直接暴力，时间复杂度为O(n^4)。只能拿40分。所以，我们要做一个预处理。

首先可以发现每个xx都小于n，而nn最大值只是1500015000，所以可以开一个桶来存每个魔法值出现的次数

回忆一下3个约束条件

xa<xb<xc<xdxa<xb<xc<xd ①

xb−xa=2(xd−xc)xb−xa=2(xd−xc) ②

xb−xa<(xc−xb)/3xb−xa<(xc−xb)/3 ③

现在魔改一下这三个式子

设t=xd−xct=xd−xc

所以②可化为xb−xa=2txb−xa=2t ④

将④代入③

2t<(xc−xb)/32t<(xc−xb)/3

移项一下，就变成

6t<xc−xb6t<xc−xb ⑤

再魔改一下

设6t+k=xc−xb6t+k=xc−xb（就是把差的部分补上去）

于是可以画出来一个图

显然，AA的最小值为11，DD的最大值为nn

由图可得AD=9t+kAD=9t+k

所以我们可以尝试着枚举t，用t来表示各个魔法值的值

由上易得t的范围为1<=t<=(n−1)/91<=t<=(n−1)/9

在代码中为了避免除法写成t∗9<nt∗9<n

再枚举D，因为我们已经枚举出了t，所以C的值是可以直接算出来的

C=D−tC=D−t

又因为使A,B,C,DA,B,C,D满足条件的k的最小值为1，所以对于当前的C和D，最大的A和B为A=D−9t−1,B=D−7t−1A=D−9t−1,B=D−7t−1

那么如果A和B更小怎么办？

观察到在其他条件不变的情况下，只要CC和BB满足Xc−Xb>6tXc−Xb>6t，那么这个魔法阵就一定成立，所以当(a1<a2,b1<b2)(a1<a2,b1<b2)时，只要a2a2和b2b2能够和C,DC,D组成魔法阵，a1,b1a1,b1也一定能和C,DC,D组成魔法阵，所以可以使用前缀和优化

然后又由乘法原理可得，当前魔法值作为DD物品的个数为SumD=SumA∗SumB∗SumCSumD=SumA∗SumB∗SumC

所以我们利用前缀和优化SumA∗SumBSumA∗SumB

C的情况可以顺便在算D的时候算出来

那么还有一个问题是，我们枚举的D的范围是多少？

因为要统计前缀和，所以一定是要顺推下去的，由上面那张图我们可以知道，D的最大值为n，最小值则为当k=1且A=1的时候，所以D的最小值为9∗t+29∗t+2，再小是无法组成魔法阵的

同理可以枚举A

但是这个的情况又和枚举D的情况有一点不同

在其他条件不变的情况下，只要CC和BB满足Xc−Xb>6tXc−Xb>6t，那么这个魔法阵就一定成立，所以当(c1<c2,d1<d2)(c1<c2,d1<d2)时，只要c1c1和d1d1能够和A,BA,B组成魔法阵，c2,d2c2,d2也一定能和A,BA,B组成魔法阵，所以可以使用后缀和优化

因为需要统计后缀和，所以需要逆推

枚举的范围：A的最大值为(n−t∗9−1)(n−t∗9−1)(因为当k=1，D=n的时候A才最大)，A的最小值则为1

所以就可以算出每个魔法值作为A,B,C,DA,B,C,D物品的次数了，输出时直接输出当前魔法物品的魔法值的次数就可以了。代码如下。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
#define N 50010
int n,m;
int a[N],b[N],c[N],d[N];
int x[N],vis[N];
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        x[i]=read(),vis[x[i]]++;
    for(int t=1;t*9<n;t++){
        int sum=0;
        for(int D=9*t+2;D<=n;D++){
            int A=D-9*t-1;
            int B=A+2*t;
            int C=D-t;
            sum+=vis[A]*vis[B];
            c[C]+=vis[D]*sum;
            d[D]+=vis[C]*sum;
        }
        sum=0;
        for(int A=n-9*t-1;A;A--){
            int B=A+2*t;
            int C=B+6*t+1;
            int D=A+9*t+1;
            sum+=vis[C]*vis[D];
            a[A]+=vis[B]*sum;
            b[B]+=vis[A]*sum;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        printf("%d %d %d %d\n",a[x[i]],b[x[i]],c[x[i]],d[x[i]]);
    }
    return 0;
}