B树B+树基础

二叉搜索树

二叉查找树，也称二叉搜索树、二叉排序树。其定义如下：

要么是一颗空树，要么是具有如下性质的二叉树：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值小于根节点;
• 若任意节点的右子树不空，则左子树上所有结点的值大于根节点;
• 任意节点的左、右字数也分别为二叉搜索树;
• 没有键值相等的节点;

平衡二叉树

平衡树是二叉搜索树和堆合并构成的新数据结构，所以它的名字取了Tree和Heap各一半，叫做Treap。

它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡因子：$ 结点的平衡因子 = 结点的左子树深度 — 结点的右子树深度。$若平衡因子的取值为-1、0或1时，该节点是平衡的，否则是不平衡的。

最低不平衡点：若节点x是最低不平衡点，则其所有子节点是平衡的，而x的祖先节点可能是不平衡的。

假设本来这棵树是平衡的，在我们在插入一个结点x以后，导致了这棵树的不平衡。

• LL，插入的节点 x 为左子树的左孩子
• LR，插入的节点x为左子树的右孩子
• RL，插入的节点x为右子树的左孩子
• RR，插入的节点x为右子树的右孩子

红黑树

红黑树是一种特化的AVL树，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持BST的平衡，从而获得较高的查找性能。

在二叉查找树的强制要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求：

• 结点是红色或黑色。
• 根节点黑色。
• 不可能有连在一起的红色节点（每个红色节点的两个子节点都是黑色）。
• 叶子节点(nil或空节点)是黑色。

这些约束强制了红黑树的关键性质：从根到叶子的最长可能路径不多于最短可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。

平衡二叉树为了维护树的平衡，在一旦不满足平衡的情况下就要进行自旋，但是自旋会消耗一定的系统资源，因此红黑树在自旋造成的系统开销和减少查询次数之间作了权衡，有时候红黑树并不是一颗平衡二叉树。

红黑树已经是在查询性能上得到了优化，但是索引并没有使用红黑树来最为数据结构存储数据，因为红黑树在每一层上存放的数据内容是有限的，导致数据量一大（海量），树的深度就变得非常大，查询性能会非常查。

B树

​ B树中所有结点中孩子结点个数的最大值称为B树的阶，通常用m表示，从查找效率考虑，一般要求\(m>=3\)。一棵m阶B树是一棵空树或者是满足以下条件的m叉树：

• 每个结点最多有m个分支（子树）；

• 若为根节点且根节点不是叶子结点，则至少要有两个分支；非根非叶结点至少有(m + 1)/ 2个分支；

• 如果一个结点有n-1个关键字，那么该结点有n个分支。这n-1个关键字按照递增顺序排列；

• 每个结点的结构为：

  n	\(K_1\)	\(K_2\)	……	\(K_n\)
  \(P_0\)	\(P_1\)	\(P_2\)	……	\(P_n\)

  • n是指节点中关键字的个数
  • \(K_i\)为该节点的关键字且满足\(K_i < K_{i+i}\)
  • \(P_i\)为该节点的孩子结点且满足\(P_i\)所指结点上的关键字大于\(K_{i-1}\)且小于\(K_{i+1}\)

• 节点内各关键字互不相等且按从小到大排列

• 叶子结点处于同一层，可以用空指针表示

B+树

• 只有叶子结点存放键和值，非叶子结点只会冗余叶子结点的键（只有叶子结点存放数据）
• 相邻叶子结点之间是通过链表指针连起来的，按从小到大排列，提高区间访问速度
• 查找的时间复杂度约为：\(O(log_m)\)