slope trick
简介
考虑一种二维 dp，它的第二维比较巨大，如果直接做会超时或者炸空间。
这种 dp 大多形如 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个东西，第 \(i\) 个位置放了 \(j\) 的最优代价一类的东西。
那么我们是无法在第一维上进行任何操作的，所以我们要考虑对第二维做文章。
例如说，如果第二维的操作每次是给你一个 \(p\)，把 \(f_{i,p}\) 对 \(f_{i,1\le i\le p}\) 取 \(\min\)，其它东西原样照搬 \(f_{i-1}\)，你就可以使用线段树维护第二维去搞。
当然这个东西有个更厉害的名字：整体 dp。但是整体 dp 并不是我们今天要探讨的内容，我们要说的是 slope trick。
比方说，你发现上面我们用线段树维护的东西，如果第二维特别巨大，比如到了 \(10^9\) 甚至 \(10^{18}\)，那线段树基本上就没救了。如果你注意到或者说主观认为，这个 dp 数组在 \(i\) 相同时，关于第二维是凸的，你就可以用 slope trick。
然后因为关于第二维是凸的，相当于你相邻两项的差分数组是单调的（递增或递减），我们把这个差分数组叫做斜率。
然后 slope trick 还分两种维护方式。分别是维护斜率的拐点和直接维护相邻两个位置的斜率。
维护拐点一般是在，定义域非常大，但是斜率的值域并不大的时候使用的。
而维护斜率一般是在，定义域并不大，但是斜率的值域很大的时候用的。
如果这两个东西同时能用，这里笔者建议使用维护拐点。
维护拐点
Sequence
比较显然的，你设 \(f_{i,j}\) 表示已经填了 \(i\) 个数，第 \(i\) 个数填了 \(j\) 的最小代价。
那转移就是 \(f_{i,j}\leftarrow \min(f_{i-1,k<j}+|j-a_i|)\)。
这个东西还是挺显然是凸的的。但是你发现这个式子有点难看，所以你简单改一下。首先把所有 \(a_i\) 减去 \(i\)，这样严格上升就变成了单调不降。
设 \(f_{i,j}\) 表示已经填了 \(i\) 个数，第 \(i\) 个数 \(\le j\) 的最小代价。转移只需要在上面的东西上改为 \(f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}+|j-a_i|\) 最后再 \(f_{i,j}\leftarrow \min(f_{i,j},f_{i,j-1})\)。
然后考虑这俩东西都有什么影响。第一个转移相当于往我们现在的下凸壳上面加了个 V 形函数，也就是说前面部分斜率 \(-1\)，后面部分斜率 \(+1\)。
然后是第二个转移，把所有函数值对前面取 \(\min\)，那也就是说，你下凸壳后面上升的一段没了，全都变成了最低点的值。
所以你维护一个大根堆，里面放所有斜率的拐点（注意如果同一个地方斜率从 \(k_1\) 变为 \(k_2\)，那你要把这个点放 \(k_2-k_1\) 次）。然后每次往里扔两个 \(a_i\)，再弹出堆顶即可。
显然你最后的堆顶就是 \(b_n\) 的取值，然后假设说前面的 \(b_i\) 的值是 \(a_i\) 做完操作后的堆顶，你考虑怎么把 \(b_i\) 变成我们要输出的方案。
显然如果 \(b_{i+1}\ge b_i\)，那你就能取堆顶，直接取就行了；否则，你取的值越小，你的贡献就越大，所以要取的尽量大，也就是说直接取 \(b_{i+1}\) 就是对的。
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 1000005
#define mod 998244353
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define pct __builtin_popcount
#define mpi make_pair
#define inf 2e18
using namespace std;
int T=1,n,a[N],b[N];
void solve(int cs){
if(!cs)return;
cin>>n;
priority_queue<int>q;
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
a[i]-=i;
q.push(a[i]);
q.push(a[i]);
q.pop();
b[i]=q.top();
}
res+=abs(a[n]-b[n]);
for(int i=n-1;i;i--){
b[i]=min(b[i],b[i+1]);
res+=abs(a[i]-b[i]);
}
cout<<res<<'\n';
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<b[i]+i<<'\n';
}
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
// cin>>T;
// init(3e5);
for(int cs=1;cs<=T;cs++){
solve(cs);
}
// cerr<<clock()*1.0/CLOCKS_PER_SEC<<'\n';
return 0;
}
Safety
首先我们写出朴素 dp：设 \(f_{i,j}\) 表示已经放好前 \(i\) 个位置，第 \(i\) 个位置的高度是 \(j\) 的最小代价。
那么转移就是：\(f_{i,j}\leftarrow\displaystyle\min_{k=j-H}^{j+H}f_{i-1,k}+|s_i-j|\)。然后不难发现，这个东西是下凸的。可以尝试使用 slope trick 做。
我们观察该 dp 的定义域与斜率的值域。发现定义域很大，但斜率的值域并不大，所以我们考虑维护拐点。
用 slope trick 做第一步应当先把式子拆成几部分，并观察这几部分在函数上的影响。
所以我们拆成 \(f_{i,j}\leftarrow \min f_{i-1,k}\) 和 \(f_{i,j}\leftarrow |j-s_i|\) 两步来看。
不难发现第一步就是，把最低段的左端点和右端点往两边扩展 \(H\)。
第二也是显然且套路的，相当于往函数上加一个 V 状物。那我们直接把 \(s_i\) 左边的部分斜率全部 \(-1\)，右边的部分斜率全部 \(+1\) 即可。
于是我们维护对顶堆。那么操作一就是直接对两个堆打标记，操作二就是在某个堆插入两个 \(s_i\) 并把这个堆的堆顶转移到另一个堆。
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 1000005
#define mod 998244353
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define pct __builtin_popcount
#define mpi make_pair
#define inf 2e18
using namespace std;
int T=1,n,h,a[N];
void solve(int cs){
if(!cs)return;
cin>>n>>h;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
priority_queue<int>q1;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>q2;
int t1=0,t2=0;
q1.push(a[1]);
q2.push(a[1]);
int res=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
t1-=h;
t2+=h;
if(a[i]>=q1.top()+t1&&a[i]<=q2.top()+t2){
q1.push(a[i]-t1);
q2.push(a[i]-t2);
}
else if(a[i]<q1.top()+t1){
res+=q1.top()+t1-a[i];
q1.push(a[i]-t1);
q1.push(a[i]-t1);
q2.push(q1.top()+t1-t2);
q1.pop();
}
else{
res+=a[i]-q2.top()-t2;
q2.push(a[i]-t2);
q2.push(a[i]-t2);
q1.push(q2.top()+t2-t1);
q2.pop();
}
}
cout<<res<<'\n';
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
// cin>>T;
// init(3e5);
for(int cs=1;cs<=T;cs++){
solve(cs);
}
// cerr<<clock()*1.0/CLOCKS_PER_SEC<<'\n';
return 0;
}
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