【pytorch学习】之线性神经网络-线性回归

线性神经网络

【摘要】在介绍深度神经网络之前，我们需要了解神经网络训练的基础知识。我们将介绍神经网络的整个训练过程，包括：定义简单的神经网络架构、数据处理、指定损失函数和如何训练模型。为了更容易学习，我们将从经典算法————线性神经网络开始，介绍神经网络的基础知识。经典统计学习技术中的线性回归和softmax回归可以视为线性神经网络，这些知识将为本书其他部分中更复杂的技术奠定基础。

1 线性回归

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、预测需求（零售销量等）。但不是所有的预测都是回归问题。在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

1.1 线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）可以追溯到19世纪初，它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量\(x\)和因变量\(y\)之间的关系是线性的，即\(y\)可以表示为\(x\)中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。
为了解释线性回归，我们举一个线性回归中最常见的的例子：我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）或训练集（training set）。每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），也可以称为数据点（datapoint）或数据样本（data instance）。我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。
通常情况下，我们使用符号\(n\) 来表示数据集中的样本数。对于数据集中索引为 \(i\)的样本，其输入表示为 \(x^{(i)} = [x^{(1)}_i, x^{(2)}_i]^T\)，对应的标签是 \(y^{(i)}\)。

线性模型
线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：
\(price = w_{area} · area + w_{age} · age + b.\)
\(w_{area}\)和\(w_{age}\) 称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。\(b\)称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。严格来说，输入特征的一个 仿射变换（affine transformation）。仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation），并通过偏置项来进行平移（translation）。
给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重\(w\)和偏置\(b\)，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。
而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含d个特征时，我们将预测结果\(\hat{y}\)（通常使用“尖角”符号表示y的估计值）表示为：

\[\hat{y} = w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + ... + w_d \cdot x_d + b \]

可简写为：

\[\hat{y} = \mathbf{w}^T \mathbf{x} + b \]

向量x对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵\(X \in \mathbb{R}^{n \times d}\)可以很方便地引用我们整个数据集的n个样本。其中，\(X\)的每一行是一个样本，每一列是一种特征。
对于特征集合X，预测值\(\hat{y} \in \mathbb{R}^{n}\) 可以通过矩阵‐向量乘法表示为：

\[\hat{y} = Xw + b \]

这个过程中的求和将使用广播机制,给定训练数据特征\(X\)和对应的已知标签\(y\)，线性回归的目标是找到一组权重向量\(w\)和偏置\(b\)：当给定从\(X\)的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。
虽然我们相信给定x预测y的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有n个样本的真实数据集，其中对于所有的\(1 ≤ i ≤ n，y^{(i)}\)完全等于\(w^⊤x^{(i)} + b\)。
无论我们使用什么手段来观察特征X和标签y，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
在开始寻找最好的模型参数（model parameters）\(w\)和\(b\)之前，我们还需要两个东西：

• 一种模型质量的度量方式；
• 一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。
  损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本i的预测值为\(\hat{y}^{(i)}\)，其相应的真实标签为\(y^{(i)}\)时，平方误差可以定义为以下公式：

\[MSE = \frac{1}{2} (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)})^2 \]

常数不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些（因为当我们对损失函数求导后常数系数为1)。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。为了进一步说明，来看下面的例子。我们为一维情况下的回归问题绘制图像

由于平方误差函数中的二次方项，估计值\(\hat{y}^{(i)}\)和观测值\(y^{(i)}\)之间较大的差异将导致更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集n个样本上的损失均值（也等价于求和）。

\[L(w, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n l^{(i)}(W,b)= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \left( w^\top x^{(i)} + b - y^{(i)} \right)^2 \]

在训练模型时，我们希望寻找一组参数\(（w^∗, b^∗）\)，即要找到最小化损失函数$ L(w, b) $ 的最优权重$ w^* $ 和偏置$ b^* $，我们需要求解以下优化问题：

\[(w^*, b^*) = \text{argmin}_{(w, b)} L(w, b) \]

对于这个特定的均方误差（MSE）损失函数，我们可以使用梯度下降或其他优化算法来找到最优的 $ w^*$ 和 \(b^*\)。

梯度下降的更新规则如下：

\[w := w - \alpha \nabla_w L(w, b) \]

\[b := b - \alpha \nabla_b L(w, b) \]

其中，$\alpha $ 是学习率，$\nabla_w L(w, b) $和 $ \nabla_b L(w, b) $ 分别是损失函数 $L(w, b) $关于 $ w $和 $b $的梯度。

对于 MSE 损失函数：

\[\nabla_w L(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (w^\top x^{(i)} + b - y^{(i)}) x^{(i)} \]

\[\nabla_b L(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (w^\top x^{(i)} + b - y^{(i)}) \]

使用这些梯度更新权重 $ w $ 和偏置 $ b \(，直到损失函数\) L(w, b)$ 收敛或达到预定的迭代次数。
解析解
线性回归刚好是一个很简单的优化问题。与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置\(b\)合并到参数\(w\)中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化\(\lVert y - Xw \rVert^2\) 。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。将损失关于w的导数设为0，得到解析解：

\[w^*= (X^T X)^{-1} X^T y \]

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。
随机梯度下降
即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量β，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数\(\eta\)，并从当前参数的值中减掉。
我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（$\theta $表示偏导数）：

\[(w, b) \leftarrow (w, b) - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \nabla_{(w, b)} \mathcal{L^{(i)}}(w, b) \]

总结一下，算法的步骤如下：

1. 初始化模型参数的值，如随机初始化；
2. 从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

\[w \leftarrow w - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \nabla_{w} \mathcal{L^{(i)}}(w, b)=w - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} x^{(i)} \left( w^T x^{(i)} + b - y^{(i)} \right) \]

\[b \leftarrow b - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \nabla_{b} \mathcal{L^{(i)}}(w, b)=b - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \left( w^T x^{(i)} + b - y^{(i)} \right) \]

公式 中的w和x都是向量。在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如\(w_1, w_2, . . . , w_d\)）更具可读性。\({|B|}\)表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。η表示学习率（learning rate）。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。
在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为 \(\hat{w}\) 和 \(\hat{b}\)。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。
线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为泛化（generalization）。
用模型进行预测
给定“已学习”的线性回归模型$ \hat{w}^T x + \hat{b}$，现在我们可以通过房屋面积x1和房龄x2来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

1.2 矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑对向量相加的两种方法。我们实例化两个全为1的10000维向量。在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量；在另一种方法中，我们将依赖对+的调用。

n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])

我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以我们定义一个计时器：

class Timer: #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()
    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()
    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]
    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)
    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)
    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

现在我们可以对工作负载进行基准测试。
首先，我们使用for循环，每次执行一位的加法。

c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.11788 sec'

或者，我们使用重载的+运算符来计算按元素的和。

timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.00100 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。矢量化代码通常会带来数量级的加速。另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

1.3 正态分布与平方损失

接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。
正态分布和线性回归之间的关系很密切。正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussiandistribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。简单的说，若随机变量x具有均值\(µ\)和方差\(σ^2\)（标准差σ），其正态分布概率密度函数如下：

\[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2 \right) \]

下面我们定义一个Python函数来计算正态分布。

def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

我们现在可视化正态分布。

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

就像我们所看到的，改变均值会产生沿x轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。
均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:

\[y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon \]

其中，\(\epsilon\sim N (0,\sigma^2)\)。
因此，我们现在可以写出通过给定的\(x\)观测到特定\(y\)的似然（likelihood）：

\[P(y | x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top x - b)^2\right) \]

现在，根据极大似然估计法，参数w和b的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

\[P(y | X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)} | x^{(i)}) \]

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然\(− log P(y | X)\):

\[- \log P(y | X) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \log(2\pi\sigma^2) + \frac{1}{2\sigma^2} \left( y^{(i)} - w^{\top}x^{(i)} - b \right)^2 \]

现在我们只需要假设σ是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于w和b。现在第二项除了常数$ \frac{1}{\sigma^2}$ 外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。幸运的是，上面式子的解并不依赖于σ。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

1.4 从线性回归到深度网络

到目前为止，我们只谈论了线性模型。尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。首先，我们用“层”符号来重写这个模型。
神经网络图
深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。在下图中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

神经网络中，输入为\(x_1, . . . , x_d\)，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimen‐sionality）为d。网络的输出为o1，因此输出层中的输出数是1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说，图中神经网络的层数为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换（图中的输出层）称为全连接层（fully‐connected layer）或称为稠密层（dense layer）。