复高斯分布及在信号处理中的应用

高斯变量基础

高斯分布

\[X\sim(\mu,\sigma^2） \]

概率密度函数

\[p=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}} \]

性质

• 正态分布转化成标准正态分布，当\(X\sim(\mu,\sigma^2）\)，则有\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)
• 若\(X\sim(\mu,\sigma^2)\)，有\(aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)
• 若\(X\sim(\mu_x,\sigma^2_x)\)，\(Y\sim(\mu_y,\sigma^2_y)\)且统计独立,则\(U=X+Y\sim N(\mu_x+\mu_y,\sigma^2_x+\sigma^2_y)\)

复高斯分布

若复高斯分布\(Z=X+iY\), 且满足\(X\sim(\mu_x,\sigma^2_x)\)，\(Y\sim(\mu_y,\sigma^2_y)\)，\(\mu=\mu_x=\mu_y, \sigma^2=\sigma_x^2=\sigma_y^2\)，
则有\(\mu_z=\mu_x+i\mu_y\), \(\sigma_z^2=2\sigma_x^2=2\sigma_y^2\)

概率密度函数

\[p_{xy}=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(x-\mu_x)^2+(y-\mu_y)^2}{2\sigma^2}}\\ p_z=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(z-\mu_z)^2}{2\sigma^2}} \\ p_z=\frac{1}{\pi\sigma_z^2}e^{-\frac{(z-\mu_z)^2}{\sigma_z^2}}\]

注：复高斯随机变量的密度函数，分母已经没有根号

应用

零均值循环对称复高斯随机变量

特殊的，当\(\mu=\mu_x=\mu_y=0\)时，\(Z\)称为零均值循环对称复高斯随机变量（zero mean circle symmetric complex gaussian,ZMCSCG）,\(\sigma_2\)称为每个实数维度上的方差。

以上分析得出复高斯随机变量与每一实数维度高斯随机变量的关系

卡方分布

设\(X_1,X_2,X_3,\dots, i.i.d\sim N(0,1)\), 令\(X=\sum\limits_{i=1}^nX_i^n\), 则\(X\)是服从自由度为\(n\)的\(\chi^2\)分布，记为\(X\sim \chi^2(n)\)
卡方分布为特殊的Gamma分布，服从参数为\(G(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\)

Gamma分布： $$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}t^{\alpha-1} e^{-t}dt $$ 令$t=\beta x$, 可得： $$\gamma(x;\alpha, \beta)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$$

复高斯随机变量的模平方：

设\(Z=X+iY\sim(0,\sigma_z^2)\), 则\(\sigma_z^2=2\sigma_x^2\)

\[Z=X+iY \\ \frac{Z}{\sigma_x}=\frac{X}{\sigma_x}+i\frac{Y}{\sigma_x} \]

注意：\(\sigma_x = \sigma_y\)

\[|\frac{Z}{\sigma_x}|^2=\frac{2|Z|^2}{\sigma_z^2}\sim \chi^2(2)=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}\sim \exp(\lambda=\frac{1}{2}) \]

可得\(|\frac{Z}{\sigma_x}|^2\)服从\(\chi^2(2)\)分布.

求得此分布有什么用呢？

指数分布

在特殊情况下，当给定一个复高斯随机变量，其模平方服从指数分布，即\(Z=X+iY,\sigma_{x}^{2} =\sigma_{y}^{2} = 0.5,\sigma_{z}^{2} = 1\)
利用随机变量函数的性质：

\[ X\sim f_X(x) \qquad y=g(x) \\ f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))(g^{-1}(y))' \]

令\(Y=aX+b\), 则\(X=\frac{Y-b}{a}\), 可得：

\[f_Y(y)=\frac{1}{a}f_X(\frac{y-b}{a}) \]

\[\frac{2|Z|^2}{\sigma_z^2}=2|Z|^2\sim \exp(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} \\ a=0.5 (此处要利用上述随机变量函数的性质)\\ 0.5*(2|Z|^2)\sim \exp(1) \\ a|z|^2\sim \exp(\frac{1}{a}) \]

注意点：

• 复高斯随机变量概率表达式的分母
• 复高斯随机变量模平方的分布与卡方分布、指数分布、Gamma分布之间的关系
  

Rayleigh分布

上述讨论了复高斯随机变量的模平方分布，现在讨论福高斯随机变量的模/包络的分布。
复高斯随机变量的模服从Rayleigh分布。

有时间再补充。。。

附录：
https://www.docin.com/p-2044892679.html
https://www.jianshu.com/p/8268c5ef8e94