JYU程序设计决赛题解与思考（更新中）

被绿的小华

题目大意就是给出一个01串表示的二进制数是否为3的倍数。

方法1：暴力

直接用快速幂暴力求解，求解的过程中同时模3。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define MAXN 10000
#define int long long
#define mod 3
using namespace std;
int n,m,ans=0;
int a[MAXN];
inline int pow_(int x,int n){
    int cnt=1;
    while(n){
        if(n&1)
            cnt=cnt*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return cnt%mod;
}
signed main()
{
    string s;
    cin>>s;
    for(int i=s.size()-1,j=0;i>=0;i--,j++){
        if(s[i]=='1'){
            ans=ans+pow_(2,j);
            ans%=mod;
        }
    }
    if(ans==0) cout<<"Y"<<endl;
    else cout<<"N"<<endl; 
    return 0;
}

方法2：数学

二进制数的奇数位1的个数与偶数位1的个数的差能被3整除，则这个数是3的倍数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<list>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime> 
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define  sc scanf
#define  pr printf
#define MAXN 10001
#define INF 9999999999
#define endd puts("");
#define int long long
#define il inline
#define PI  3.1415926535898
#define INF_MIN -214783647
using namespace std;
il int read() {
    int s = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') {  if (ch == '-')  f = -1;  ch = getchar();  }
    while (ch>='0'&&ch<='9') {  s = s * 10 + ch - '0';  ch = getchar();  }
    return s * f;
}
/******************************head*****************************************/
int pow_(int a,int n){
    int cnt=1;
    while(n){
        if(n&1)
            cnt=cnt*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return cnt;
}
signed main()
{
    int num1=0,num2=0; 
    string s;
    cin>>s;
    for(int i=s.size()-1;i>=0;i--){
        if(s[i]=='1'){
            if(i&1) num1++;
            else num2++; 
        }
    }
    if(abs(num1-num2)%3==0) cout<<"Y";
    else cout<<"N";
    return 0;
}

 

证明：

对于二进制数的偶数位：

2^0%3=1;

2^2=2^0*4;

2^2%3=(2^0%3)*(4%3)=(2^0%3)*1=2^0%3=1;

则2^2%3==2^0%3;

2^4%3=(2^2%3)*(4%3)=(2^2%3)*1=2^2%3=2^0%3=1;

则2^4%3==2^2%3==2^0%3;

以此类推

(2^2n)%3=2^(2(n-1))%3*(4%3)=2^(2(n-1))%3*1=2^(2(n-2))%3*(4%3)……=2^(2(n-n))%3*4%3=2^0*(4%3)=2^0*1=1*1;

得(2^2n)%3=2^0*1=1;

而二进制数的奇数位同理可证得(2^(2n+1))%3=2^1%3=2;

从而得出一个二进制数的奇数位%3为2，二进制数的偶数位%3为1;

 

奇数位1的个数与偶数位1的个数的差有两种情况：

（1）奇数位1的个数与偶数位1的个数相等；

若一个二进制数有n个奇数位的1，m个偶数位的1，且n=m，由上面证得的结论可知二进制数的奇数位%3为2，偶数位%3为1；

则这个二进制数%3的值为n(1+2)%3=3n%3=0，这个二进制数能被3整除；

（2）奇数位1的个数与偶数位1的个数不等；

若一个二进制数有n个奇数位的1，m个偶数位的1，且n>m，由上面证得的结论可知二进制数的奇数位%3为2，偶数位%3为1；

则这个二进制数%3的值为m(1+2)%3+(n-m)*2%3，若n-m%3==0，则(n-m)*2%3==0，可得结论若奇数位的1大于偶数位的1的个数且个数差为3的倍数，则该二进制数是3的倍数;

若一个二进制数有n个奇数位的1，m个偶数位的1，且n<m，由上面证得的结论可知二进制数的奇数位%3为2，偶数位%3为1；

则这个二进制数%3的值为n(1+2)%3+(n-m)*1%3，若n-m%3==0，则(n-m)*1%3==0，可得结论若奇数位的1小于偶数位的1的个数且个数差为3的倍数，则该二进制数是3的倍数;

综上所述可证得：二进制数的奇数位1的个数与偶数位1的个数的差能被3整除，则这个数是3的倍数。