Kruskal重构树入门

这个知识点好像咕咕咕了好长了。。趁还没退役赶紧补一下吧。。

讲的非常简略,十分抱歉。。

前置知识

Kruskal算法

一定的数据结构基础(如主席树)

Kruskal重构树

直接bb好像不是很好讲,那就从这道题入手吧。

在Bytemountains有$N$座山峰,每座山峰有他的高度$h_i$。

有些山峰之间有双向道路相连,共$M$条路径,每条路径有一个困难值,这个值越大表示越难走.

现在有$Q$组询问,每组询问询问从点$v$开始只经过困难值小于等于$x$的路径所能到达的山峰中第$k$高的山峰,如果无解输出$-1$

首先,这是一张图(你在说大实话么)

对于一个点来说,经过困难值小于等于$x$的路径所能到达的点是一定的。

但是这和生成树有啥关系呢?

显然,若一个点能通过一条路径到达,那么我们走最小生成树上的边也一定能到达该节点。

这样我们把最小生成树建出来,就可以少考虑很多边了。

然而并没有什么卵用。。

现在我们需要做的,是找一种方法,能够维护出一个点能到达的点。

于是Kruskal重构树就诞生了。

它的思想是这样的:

在运行Kruskal算法的过程中,对于两个可以合并的节点$(x, y)$,断开其中的连边,并新建一个节点$T$,把$T$向$(x, y)$连边作为他们的父亲,同时把$(x, y)$之间的边权当做$T$的点权

比如说

 

重构之后是这样的:

 

这样我们得到了一个新的树,考虑它有什么性质。

其中最重要的一条就是:一个节点能走到的节点一定在它的子树中

然后这道题就做完了,直接dfs序+主席树即可

 

当然,除了这一条之外,Kruskal重构树还有很多有意思的性质

  1. 是一个二叉树
  2. 如果是按最小生成树建立的话是一个大根堆(important!)
  3. 任意两个点路径上边权的最大值为它们的LCA的点权

例题

[NOI2018]归程

 

posted @ 2018-09-20 21:46 自为风月马前卒 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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