点双连通分量与割点

前言

在图论中,除了在有向图中的强连通分量,在无向图中还有一类双连通分量

双连通分量一般是指点双连通分量

当然,还有一种叫做边双连通分量

点双连通分量

对于一个连通图,如果任意两点至少存在两条“点不重复”的路径,则说图是点双连通的(即任意两条边都在一个简单环中),点双连通的极大子图称为点双连通分量。

计算方法比较简单

在tarjan的过程中,如果由\(i\) dfs到\(j\),并且\(low[j]>=dfn[i]\),那么进行弹栈直到\(j\)被弹出,弹出的点加上\(i\)构成了一个点双连通分量。
(实际就是在搜索树种这个点和它下面的点构成了一个双连通分量)

注意在tarjan的过程中,我们可以选择存边,也可以存点,不过存点的话边界条件要变一下

do
{
    h=s.top();s.pop();
    #¥%……&*(()
}while(h!=edge[i].v);//warning 

与二分图的关系

(1) 如果一个点双连通分量内的某些顶点在一个奇圈中(即双连通分量含有奇圈),那么这个双连通分量的其他顶点也在某个奇圈中;

(2) 如果一个点双连通分量含有奇圈,则他必定不是一个二分图。反过来也成立,这是一个充要条件。

例题

POJ 2942

题解

割点(割顶)

割点:对于无向图中的点\(i\),若去掉\(i\)点,无向图的连通快个数会增加,则称点\(i\)为割点

不难发现一个点是割点当且仅当他在多个点双里。

考虑之前求点双的过程,找到一个点双时,那个\(i\)就是一个割点。

根节点需要特判一下,必须要有至少\(2\)个孩子时才是割点。

例题

洛谷P3388

题解

posted @ 2018-02-27 18:51 自为风月马前卒 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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