中国剩余定理详解

引入

我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题目，它的描述是这样的

今有物不知其数，三三数之余二；五五数之余三；七七数之余二。问物几何？

这道题用现代数学理论来看，无非就是解一个方程

\begin{cases}x\equiv 2\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 3\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 2\left( mod\ 7\right) \end{cases}

那么这个方程怎么解呢？

这需要用到我们祖先的伟大创造——中国剩余定理

中国剩余定理

在很久以前，数学领域还没有像扩展欧几里得这种东西。对于这个问题，我们祖先采用了构造的方法

构造过程如下

首先考虑三个特殊方程

\begin{cases}x\equiv 1\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 7\right) \end{cases}

\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 1\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 7\right) \end{cases}

\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 1\left( mod\ 7\right) \end{cases}

他们的特殊解

那第一个方程来说，它实际上等同于解一个同余式

 $$35y\equiv 1\left( mod\ 3\right) $$

因为$x$一定是$5*7=35$的倍数

化简一下当面的式子

$$2y\equiv 1\left( mod\ 3\right) $$

我们不难得出解$y=2$，此时$x=70$

同理，对于第二第三个式子我们可以运用相同的方法求解

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=70\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=21\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=15$$

那么最终的答案为

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$=2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 23\left( mod\ 105\right)$$

我们这样就可以求出解了。

但是这仅仅是三个式子的情况，如果推广到$r$个呢?

其实是一样的，都是利用构造的手段。

下面我们来推广一下。

设有$r$个同余式，其中$m_i$两两互素，注意$m$必须两两互素，否则答案错误。其实不互素也可以搞不过要用更神奇的东西

设$N=\prod ^{r}_{i=1}m_{i}$

对于同余方程组

$$\begin{cases}x\equiv b_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv b_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv br\left( mod\ m_r\right) \end{cases}$$

在模$N$同余的意义下有唯一解

 

这个方程怎么解呢？

我们仍然像前面一样，考虑构造

$$\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ m_{1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 0\left( mod\ m_{i-1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 1\left( mod\ m_{i}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 0\left( mod\ m_{i+1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv0\left( mod\ M_{r}\right) \end{cases}$$

像上面那样，我们令$x=(N/m_i)*y$

那么我们现在需要解出

$\left( N/m_{i}\right) y\equiv 1\left( mod\ m_{i}\right) $

这个东西怎么搞呢？

聪明的你肯定已经知道啦，这不就是个逆元嘛，想怎么搞就怎么搞

如果你不知道怎么搞的话可以看这里

那么方程的解为$x_{0}=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots +b_{r}x_{r}\left( mod\ N\right)$

怎么样？似不似很简单？

 

例题

有了上面的知识代码应该不难写

放一道水题

http://poj.org/problem?id=1006

题解（很久之前做的）